Theorie:
Wir haben die Zinseszinsformel kennengelernt, welche die Entwicklung eines ursprünglichen Kapitals oder Kredits \(K\) auf den Endbetrag \(E\) nach einer Verzinsung über \(n\) Jahre ausdrückt:
| \( E = Kq^n \) |
Dabei wird ein konstanter Zinssatz von \(p\) Prozent angenommen, aus dem sich der Aufzinsungsfaktor
| \( q = 1+\frac{p}{100} \) |
Man kann nun umgekehrt berechnen, welchen Betrag \(K\) man bei einem bestimmten Zinssatz anlegen muss, um nach einer Zeit von \(n\) Jahren den Endbetrag \(E\) zur Verfügung zu haben. Dazu muss die Zinseszinsformel nur nach \(K\) aufgelöst werden, und das Ergebnis ist
| \[ K = \frac{E}{q^n} \] |
Der Barwert
Die gerade angegebene Formel ist sehr nützlich, wenn man den Wert zukünftiger Zahlungen berechnen will. Nehmen wir an, jemand möchte uns einen Kaufpreis \(K\) für ein Grundstück erst in drei Jahren bezahlen. Dann kann man auf zwei verschiedene Arten argumentieren:
- Würde uns der Preis sofort bezahlt, könnten wir das Geld inzwischen auf ein Sparkonto legen und hätten in drei Jahren einen Endwert \(E\) nach der Zinseszinsformel.
- Brauchen wir das Geld aber sofort, benötigen wir inzwischen einen Kredit über den Kaufpreis \(K\), da wir den Kaufpreis ja erst in drei Jahren bekommen. Auch in diesem Fall müssen wir nach drei Jahren eine Endsumme zurückzahlen, die sich nach der Zinseszinsformel berechnet.
In beiden Fällen sollten wir statt des ursprünglichen Kaufpreises in drei Jahren einen höheren Betrag fordern, der sich nach dem Endbetrag der Zinseszinsformel berechnet.
Der einzige Unterschied in den beiden oben genannten Argumentationsweisen ist, dass im ersten Fall der Zinssatz auf Guthaben, im zweiten Fall der Zinssatz auf Kredite zur Berechnung verwendet wird. Im Regelfall wird derjenige für Kredite zugrunde gelegt.
Umgekehrt kann man mit unserer Umkehrung der Zinseszinsformel oben
\(\left( K = \frac{E}{q^n} \right)\)
berechnen, welcher sofort fällige Kaufpreis sich mit einer Zahlung \(E\) in \(n\) Jahren vergleichen lässt. Dies ist also der Wert, den eine Zahlung in der Zukunft bereits jetzt hat. Dieser Wert wird Barwert einer zukünftigen Zahlung genannt. Normalerweise wird für den Barwert der Buchstabe \(B\) verwendet; daher lautet die Formel für den Barwert:
| \[ B = \frac{E}{q^n} \] |