Theorie:
Werden regelmäßig Zahlungen auf eine Spareinlage geleistet, spricht man von Renten. Gehen diese z.B. auf ein Sparkonto zu festen Zinsen (nach Art eines Bausparvertrags), dann kann man den Endbetrag am Ende der Laufzeit ausrechnen:
Vorschüssige Rente:
Wir nehmen an, dass am Anfang jeder Zinsperiode (etwa eines Jahres) eine gleichbleibende Rate \(r\) auf das Konto eingezahlt wird. Bleibt das Zinsniveau gleich, wird jede Rate vom Zeitpunkt der Einzahlung bis zum Ende verzinst. Nehmen wir z.B. eine Einzahlung am Anfang jeden Jahres und eine Laufzeit von 10 Jahren an.
Dann wird die erste Rate 10 Jahre lang verzinst, die zweite Rate nur noch 9 Jahre, die dritte 8 Jahre usw. Auf die letzte Rate, die Anfang des 10. Jahres eingezahlt wird, erhält man nur noch Zinsen für ein Jahr. Wegen der unterschiedlichen Zeitdauer müssen für jede Ratenzahlung eine eigene Zinseszinsberechnung gemacht und die Teilergebnisse dann summiert werden. Das ergibt
\[ E = rq^{10} + rq^9 + \cdots + rq^2 + rq = rq\,(q^9 + q^8 + \cdots + q + 1) \,. \]
Dies ist eine geometrische Reihe mit dem Startwert \(rq\) und dem Quotienten \(q\), nur in umgekehrter Reihenfolge. Die Summenformel für die geometrische Reihe liefert uns den Endwert für eine vorschüssige Rente:
| \[ E = rq \frac{q^n-1}{q-1} \] |
"Vorschüssig" bedeutet hier, dass die Zahlungen immer am Anfang einer Zinsperiode eingehen (etwa eines Jahres, obwohl monatliche Zahlungen üblicher sind), während die Laufzeit am Ende der letzten Periode abläuft.
Nachschüssige Rente:
Werden die Zahlungen hingegen am Ende einer Zinsperiode geleistet, sprechen wir von einer nachschüssigen Rente. In diesem Fall erhält man den Endwert in dem Moment, in dem man die letzte Zahlung geleistet hat. Beim Sparen ist diese Variante nicht üblich, sie hilft uns aber bei der Berechnung von Kreditzahlungen.
Der einzige Unterschied im Vergleich zur vorschüssigen Rente ist die Tatsache, dass jede Rate nun eine Zinsperiode weniger verzinst wird, weil ja jede Rate eine Periode später eingezahlt wird. Bei unserem Beispiel mit der 10jährigen Laufzeit sieht das dann so aus:
Die erste Rate wird nur noch 9 Jahre lang verzinst, die zweite Rate nur noch 8 Jahre etc. Da die letzte Rate ganz am Ende der Laufzeit bezahlt wird, erhalten wir auf sie gar keine Zinsen mehr. Für den Endwert erhalten wir dann
\[ E = rq^9 + rq^8 + \cdots + rq + r = r\,(q^9 + q^8 + \cdots + q + 1) \,. \]
Dies ist wieder eine umgedrehte geometrische Reihe mit dem selben Quotienten \(q\), während der Startwert \(r\) ist. Die Summenformel für die geometrische Reihe liefert uns den Endwert für eine nachschüssige Rente:
| \[ E = r \frac{q^n-1}{q-1} \] |