Theorie:
Eine geometrische Folge \(\langle b_n \rangle \) mit Startwert \(b_1\) und Quotient \(q\) hat die explizite Darstellung
\[ b_n = b_1 q^{n-1} \,. \]
Auch für geometrische Folgen gibt es die dazugehörige geometrische Reihe:
| \(s_1 = b_1\) |
| \(s_2 = b_1+b_2\) |
| \(s_3 = b_1+b_2+b_3\) |
| \(s_4 = b_1+b_2+b_3+b_4\) |
| \(\vdots\) |
oder allgemein:
\[ s_n= \sum_{k=1}^n b_k =b_1+b_2+\cdots+b_{n-1}+b_n \,. \]
Auch die Summenformel für die geometrische Reihe kann man sich mit relativ einfachen Mitteln herleiten; wir wollen uns aber hier nur das fertige Ergebnis ansehen:
| \[ s_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q-1} \] |
Dies gilt sowohl für positive als auch für negative Werte von \(q\) (ausgenommen den Wert \(q=1\), der keiner "richtigen" geometrischen Folge entspricht - schließlich sind dann alle Glieder gleich).
Unendliche geometrische Reihe
Falls \(q\) eine Zahl ist, deren Betrag kleiner eins ist (\(|q|<1\) oder \(-1<q<1\)), dann werden die Glieder der geometrischen Folge mit wachsendem \(n\) immer kleiner. In diesem Fall nähert sich die Summe einem Grenzwert an, denn der Ausdruck \(q^{n}\) in der Summenformel wird mit wachsendem \(n\) immer kleiner und geht schließlich gegen Null. Wir können ihn also vernachlässigen, wenn \(n\) nur groß genug wird.
Im Grenzübergang \(n\rightarrow \infty\) setzen wir ihn gleich Null und erhalten somit einen Ausdruck für die Summe aller (unendlich vielen) Glieder einer geometrischen Reihe:
\[ s_\infty = b_1 \frac{0 - 1}{q-1} = b_1 \frac{1}{1-q} \]
Diese Formel ergibt aber nur dann ein sinnvolles Ergebnis, wenn \(|q|<1\) ist. Falls z.B. \(q>1\) ist, werden die Folgenglieder dagegen immer größer, und der Grenzwert geht gegen unendlich.
Beispiel:
Nehmen wir die geometrische Reihe mit \(b_1 = 1\) und \(q=\frac12\). Ihre ersten Glieder lauten
\[ \langle b_n \rangle = \langle 1, \frac12, \frac14, \frac18, \ldots \rangle \,. \]
Der Grenzwert für die unendliche geometrische Reihe ist dann
\[ s_\infty = b_1 \frac{1}{1-q} = 1 \frac{1}{1-\frac12} = 2 \,.\]
\[ \langle b_n \rangle = \langle 1, \frac12, \frac14, \frac18, \ldots \rangle \,. \]
Der Grenzwert für die unendliche geometrische Reihe ist dann
\[ s_\infty = b_1 \frac{1}{1-q} = 1 \frac{1}{1-\frac12} = 2 \,.\]