Theorie:
Manchmal möchte man bei Folgen nicht nur wissen, was die einzelnen Glieder sind, sondern auch deren Summe. Beispielsweise könnte die Frage nicht nur sein, was das 10. Glied einer Folge ist, sondern wie groß die Summe der ersten 10 Glieder ist. Diese Summe wird in der Mathematik mit \(s_{10}\) abgekürzt, d.h. wenn wir eine Folge \( \langle a_n \rangle \) haben, dann ist
\[ s_{10} = a_1 + a_2 + \cdots +a_9 + a_{10}\,, \]
wobei die Punkte \(\cdots \) für die hier weggelassenen Summanden \(a_3\) bis \(a_8\) stehen.
Die Abkürzung \(s_n\) funktioniert natürlich auch für andere Zahlen als für \(n=10\); beispielsweise ist
| \(s_1 = a_1\) |
| \(s_2 = a_1+a_2\) |
| \(s_3 = a_1+a_2+a_3\) |
| \(s_4 = a_1+a_2+a_3+a_4\) |
| \(\vdots\) |
Es gibt immer genausoviele Summen \(s_n=a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n\) wie Folgenglieder \(a_n\) — je nachdem, bis zu welchem Folgenglied man summiert (ist die Folge unendlich, gibt es auch unendlich viele Summen). Die \(s_n\) bilden deshalb selbst eine Folge, die Reihe genannt wird. Eine Reihe ist also diejenige Folge, die aus einer anderen Folge dadurch entsteht, dass man deren Glieder jeweils vom ersten bis zum \(n\)-ten Glied aufsummiert, wie in der obigen Tabelle dargestellt.
Die Summe kann mit dem Summenzeichen abgekürzt werden:
\[ s_n= \sum_{k=1}^n a_k\,, \quad \text{was bedeutet:} \quad s_n=a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n \,. \]
Die Arithmetische Reihe
Die arithmetische Reihe entsteht aus der arithmetischen Folge, indem man deren erste \(n\) Glieder aufsummiert. Ein beliebtes Beispiel ist die Frage, was die Summe der ersten \(n\) natürlichen Zahlen ergibt. Nehmen wir also als Folge die natürlichen Zahlen
\[ \langle a_n \rangle = \langle 1,2,3,4,\ldots \rangle \]
Nach einer Anekdote stellte der Lehrer des jungen Carl Friedrich Gauß (der später ein berühmter Mathematiker wurde) dessen Schulklasse die Aufgabe, alle Zahlen von 1 bis 100 zu addieren. Er hoffte, die Klasse damit eine Weile zu beschäftigen, aber der junge Gauß kam nach kurzer Zeit mit der Lösung zu ihm. Wie gelang ihm das? Er hatte beobachtet, dass die erste und die letzte Zahl zusammen \(1+100=101\) ergeben, und ebenso die zweite und die zweitletzte Zahl usw.: \(2+99=101\); \(3+98=101\); \(\ldots\), bis man zu \(50+51=101\) kommt und keine Zahl mehr übrigbleibt. Da dies 50 Zahlenpaare sind, die alle 101 ergeben, ist die Lösung
\[ s_{100} = 1+2+\ldots+99+100 = 50\cdot 101 = 5050 \,. \]
Für eine andere natürliche Zahl \(n\) ist die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis \(n\):
\[ s_n = 1+2+\ldots+(n-1)+n = (n+1)\frac{n}{2} \]
(Überlege, warum das so ist).
Mit dem gleichen Trick wie der junge Gauß kann man auch die Summenformel für die allgemeine arithmetische Reihe finden: Haben wir eine arithmetische Reihe mit Startwert \(a_1\) und Schrittweite \(d\), dann ist deren explizite Darstellung ja
\[ a_n = a_1 + (n-1)d \,. \]
Auch hier können wir bei der Berechnung der Summe
\[ s_n =a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n = a_1 + \underbrace{(a_1+d)}_{a_2} + \cdots + \underbrace{[a_1+(n-2)d]}_{a_{n-1}} + \underbrace{[a_1+(n-1)d]}_{a_n} \]
die erste und die letzte Zahl zusammenfassen zu \(a_1 + a_n = a_1 + [a_1+(n-1)d] = 2a_1+(n-1)d \). Weil \(a_2 = a_1 +d\), aber \(a_{n-1}=a_n-d\) ist, ergeben die zweite und die zweitletzte Zahl die selbe Summe, ebenso die dritte und die drittletzte usw. Insgesamt haben wir halb so viele Paare, wie Zahlen addiert werden, was uns die Summenformel für die arithmetische Reihe liefert:
| \[ s_n = \Big[ 2a_1 + (n-1)d \Big] \frac{n}{2} \] |
(Anmerkung: Falls \(n\) eine ungerade Zahl ist, bleibt in der Mitte eine Zahl übrig, die keinem Paar angehört. Die Formel funktioniert dann aber trotzdem.)