Theorie:
Tetraeder
Arten von Tetraedern
Ein Tetraeder (eine dreieckige Pyramide) ist ein Polyeder, dessen Flächen vier Dreiecke sind (aus dem Griechischen tetra - vier und hedra - Fläche).
Zeichnung 1
Ein Tetraeder hat \(4\) Flächen, \(4\) Ecken und \(6\) Kanten (Zeichnung 1).
Eines der vier Dreiecke wird die Grundfläche des Tetraeders genannt, die drei anderen sind die Seitenflächen des Tetraeders.
Je nach Art der Dreiecke und nach ihrer Lage, unterscheidet man verschiedene Arten von Tetraedern.
- gleichflächiges Tetraeder, alle Flächen sind zueinander kongruente Dreiecke;
- regelmäßige dreieckige Pyramide mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche und drei kongruenten gleichschenkligen Dreiecken als Seitenflächen (Zeichnung 3).
- regelmäßiges Tetraeder, alle Flächen sind gleichseitige Dreiecke sind (Zeichnung 2).
Zeichnung 2 Zeichnung 3
Eigenschaften eines regelmäßigen Tetraeders:
Aus der Definition eines regelmäßigen Tetraeders folgt, dass alle Kanten des Tetraeders gleich lang sind, und alle Flächen des Tetraeders den gleichen Flächeninhalt haben.
Wichtig!
Obwohl eigentlich all diese Körper Tetraeder im wörtlichen Sinn sind, meint man mit "Tetraeder" meistens ein gleichmäßiges Tetraeder.
Parallelepiped
Arten von Perallelepipeden
Ein Parallelepiped ist ein Polyeder, das \(6\) Parallelogramme als Flächen hat.
Zeichnung 4
Ein Parallelepiped hat \(6\) Flächen, \(8\) Ecken und \(12\) Kanten (Zeichnung 4).
Zwei Flächen eines Parallelepipeds, die eine gemeinsame Kante haben, werden Nebenflächen genannt, und die Flächen, die keine geimensamen Kanten haben werden Gegenflächen (gegenüberliegende Flächen) genannt.
Meistens werden zwei Gegenflächen herausgehoben und die Deck- und Grundfläche des Parallelepipeds genannt. Die anderen Flächen werden dann Seitenflächen des Parallelepipeds genannt.
Die Kanten eines Parallelepipeds, die nicht zu den Deck- und Grundfläche gehören, werden Seitenkanten des Parallelepipeds genannt.
Zeichnung 5
Je nach Arten von Parallelogrammen und nach ihrer Lage, unterscheidet man verschiedene Arten von Parallelepipeden:
Parallelepipede können gerade und schief sein.
Gerade Parallelepipede haben Rechtecke als Flächen (Zeichnung 5), sind also Prismen.
Schiefe Parallelepipede haben Parallelogramme als Flächen (Zeichnung 4).
Ein gerades Parallelepiped, dessen Grundfläche auch ein Rechteck ist, wird ein rechteckiges Parallelepiped (ein Quader) genannt.
Zeichnung 6
Die Kantenlängen eines Quaders, die nicht parallel verlaufen, werden Ausmaße des Quaders genannt.
Der gegebene Quader hat drei Ausmaße , , (Zeichnung 6).
Eigenschaften eines Parallelepipeds:
- Die gegenüberliegenden Flächen eines Prallelepipeds sind kongruent und parallel.
- Die gegenüberliegenden Flächen eines Prallelepipeds sind kongruent und parallel.
- Alle vier Diagonalen des Prallelepipeds schneiden und halbieren einander in einem Punkt.
- Die Seitenflächen eines geraden Parallelepipeds sind Rechtecke.
Konstruktion des Querschnitts eines Tetraeders und eines Parallelepipeds
Eine Schnittebene eines Polyeders kann eine beliebige Ebene sein, die durch das Polyeder verläuft. Sie schneidet die Flächen des Polyeders in Strecken.
Ein Vieleck, dessen Seiten diese Strecken sind, wird eine Schnittfläche des Polyeders genannt.
Da das Tetraeder \(4\) Flächen hat, kann die Schnittfläche des Tetraeders ein Dreieck (Zeichnung 7) oder ein Viereck (Zeichnung 8) sein.
Zeichnung 7 Zeichnung 8
Ein Parallelepiped hat \(6\) Flächen, deshalb kann die Schnittfläche dieses Polyeders ein Dreieck (Zeichnung 9), ein Viereck (Zeichnung 10), ein Fünfeck (Zeichnung 11) oder ein Sechseck (Zeichnung 12) sein.
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| Zeichnung 9 | Zeichnung 10 | Zeichnung 11 | Zeichnung 12 |
Bei der Konstruktion eines Querschnitts is Folgendes zu beachten:
- Gehören zwei Punkte einer Geraden zu einer Ebene, liegt diese Gerade in dieser Ebene.
- Haben zwei Ebenen einen gemeinsamen Punkt, schneiden diese Ebenen einander in einer Geraden.
- Schneidet eine Ebene zwei parallele andere Ebenen, sind die Schnittlinien parallel.
Beispiel:
Konstruiere den Querschnitt eines Parallelepipeds mit einer Ebene, die durch die Punkte \(K\), \(M\) und \(N\) geht.
1. Man zieht \(MK\), weil die beiden Punkte in der Ebene liegen;
2. , weil die nicht-parallelen Geraden, die in einer Ebene liegen, einander schneiden;
3. Man zieht \(XN\), weil die beiden Punkte in der Schnittebene liegen;
4.
5. Man zieht \(MP\), weil die beiden Punkte in der Schnittebene liegen;
6. Man zieht durch den Punkt \(N\) in der Ebene der Grundfläche , weil die Schnittlinien der parallelen Ebenen zu der dritten Ebene parallel sein müssen;
7. Man verbindet \(N\) und \(L\) und bekommt die Schnittfläche \(MKLNP\).
