Giftgas — Aufgabe. Mathematik Zentralmatura, AHS Maturavorbereitung 2020.

☐ keine Hilfsmittel erforderlich

☒ gewohnte Hilfsmittel möglich

☐ besondere Technologie erforderlich

Abhängig von der Dosis von Giftgasen und der Dauer ihrer Einwirkung kann es zu toxischen Wirkungen bei lebenden Organismen kommen. Diesen Zusammenhang untersuchte der deutsche Chemiker Fritz Haber. Die nach ihm benannte Haber’sche Regel \(c \cdot t = W\) (mit \(W = \mathrm{konstant}\)) beschreibt den Zusammenhang zwischen toxischen Wirkungen \(W\) (in \(mg \cdot min \cdot L^{–1}\) oder \(ppm \cdot min\)), der Einwirkzeit \(t\) (in \(min\)) der Verabreichung und der Wirkkonzentration \(c\) (in \(ppm\) oder \(mg \cdot L^{–1}\)) eines Giftstoffes. Die toxische Wirkung kann eine Erkrankung (beispielsweise Krebs) hervorrufen oder den Tod des diesem Gift ausgesetzten Lebewesens bedeuten. Nicht am Erbgut angreifende Gifte zeigen erst dann eine Wirkung \(W\), wenn eine für das Gift spezifische Konzentration (Schwellenkonzentration \(e\)) erreicht wird. Zum Beispiel hat Kohlenmonoxid keinen schädlichen Effekt, wenn seine Konzentration unter einem Wert von \(5 ppm\) liegt. Für Gifte mit einer Schwellenkonzentration \(e\) wird die Haber’sche Regel abgewandelt dargestellt: \((c – e) \cdot t = W\) (mit \(W = \mathrm{konstant}\)).

Aufgabenstellung:

a) Die Haber’sche Regel \(c \cdot t = W\) (mit \(W = \mathrm{konstant}\)) kann als Funktion \(c\) in Abhängigkeit von der Variablen \(t\) geschrieben werden.
Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an!

Die Funktion \(c\) ist von der Form \(f(x) = a x^z\) mit \(z \in \mathbb{Z}\).
Die Funktion \(c\) ist linear und von der Form \(f(x) = k · x + d\) mit \(k, d \in\mathbb{R}\).
Bei der Funktion \(c\) handelt es sich um eine Polynomfunktion \(f\) vom Typ \(f(x) = \sum_{i=0}^n{ a_i · x^i\) mit \(a\in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}\).
Bei der Funktion \(c\) handelt es sich um eine Potenzfunktion \(f\) vom Typ \(f(x) = a · x^n + b\) mit \(a, b \in \mathbb{R}\), \(n\in \mathbb{N}\).
Die Funktion \(c\) ist eine Exponentialfunktion \(f\) vom Typ \(f(x) = a · b^x\) bzw. \(f(x) = a · e^{λ x}\) mit \(a, b \in \mathbb{R}^+\), \(\lambda \in \mathbb{R}\).
Bei der Funktion \(c\) handelt es sich um eine konstante Funktion \(f\) vom Typ \(f(x) = a\) mit \(a \in\mathbb{R}\).

Phosgen ist ein sehr giftiges Gas. Ein Lebewesen wird für eine Zeitdauer von \(3\) Minuten diesem Giftgas in einer Wirkkonzentration von \(0,8 mg/L\) ausgesetzt. Geben Sie jene Wirkkonzentration in \(mg/L\) an, mit der in nur einer Minute die gleiche toxische Wirkung erreicht wird.

Die Konzentration beträgt \(mg/L\). (Runden Sie auf zwei Nachkommastellen).

b) Welcher Graph zeigt den Zusammenhang zwischen der Wirkkonzentration \(c\) (in mg/L) und der Einwirkzeit \(t \) (in \(min\)) für eine Wirkung von \(W = 2 mg · min · L^{–1}\) dar?

Der Graph stellt die Funktion dar.

Die beiden Textfelder sind so zu ergänzen, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht. Kreuzen Sie dazu in der ersten und der zweiten Spalte jeweils die passende Aussage an!

Die Größen \(c\) und \(t\) in der Haber’schen Regel \(c · t = W\) sind zueinander ___(1)___, weil __(2)____ dieselbe Wirkung \(W\) erzielt wird.

\((1)\)

weder indirekt noch direkt proportional
direkt proportional
indirekt proportional

\((2)\)

bei Erhöhung der Einwirkzeit \(t\) auf das \(n\)-Fache und Reduktion der Konzentration \(c\) auf den\( n\)-ten Teil
bei Erhöhung der Einwirkzeit \(t\) auf das \(n\)-Fache und Erhöhung der Konzentration \(c\) auf das \(n\)-Fache
bei Erhöhung der Einwirkzeit \(t\) auf das \(n\)-Fache und beliebiger Konzentration \(c\)

c) Ein nicht näher bezeichnetes Giftgas hat eine natürliche Schwellenkonzentration von \(e = 5 ppm\). Bei einer Einwirkzeit von \(10 min\) liegt die tödliche Dosis (letale Dosis) bei etwa \(c = 35 ppm\). Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Konzentration \(c\) in Abhängigkeit von der Einwirkzeit \(t\) bei der letalen Dosis.

Lesen Sie aus dem Graphen die letale Dosis des angegebenen Giftes für einen Menschen bei einer Einwirkzeit von \( 30\) Minuten ab! Interpretieren Sie das Ergebnis im Vergleich zu den Angabewerten!

Die letale Dosis beträgt für eine Einwirkzeit von \(30\) Minuten \(ppm\). (Runden Sie auf zwei Nachkommastellen).

d) Die abgewandelte Haber’sche Regel \((c – e) · t = W\) (mit \(W = \mathbb{konstant}\)) kann als eine Funktion \(c\) in Abhängigkeit von der Einwirkzeit \(t\) geschrieben werden.
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!

Der Wert \(e\) ist im Funktionsterm der Funktion \(c\) eine multiplikative Konstante.
Der Wert \(e\) ist im Funktionsterm der Funktion \(c\) nicht mehr vorhanden, weil der Wert \(e\) bei der Umformung wegfällt.
Der Wert \(e\) ist im Funktionsterm der Funktion \(c\) eine Konstante, die addiert wird.
Der Wert \(e\) hängt im Funktionsterm der Funktion \(c\) von \(t\) ab.
Der Wert \(e\) ist im Funktionsterm der Funktion \(c\) immer gleich groß wie \(W\).

Die Haber’sche Regel ohne Schwellenkonzentration lautet \(c · t = W\), die Form mit Schwellenkonzentration \(e\) und mit derselben biologischen Wirkungskonstante \(W\) lautet (c – e) · t = W. Woran erkennt man an der graphischen Darstellung beider Funktionen c mit c(t), um welche es sich handelt? Begründen Sie!

Die Haber’sche Regel mit Schwellenkonzentration besitzt statt der an der Stelle eine Asymptote. Der Graph dieser Funktion ist

Quellen:

https://www.bifie.at/downloads (01.08.2016)

7. Giftgas

Die Aufgabenstellung: