6. Glücksrad

 

Auf einem Jahrmarkt werden nach dem Drehen eines Glücksrades \( 0 Eur\), \(1 Eur\), \(2 Eur\) oder \(4 Eur\) ausbezahlt. Jedes Mal, bevor das Rad gedreht wird, ist eine Spielgebühr \(e\) (in \(Eur\)) zu entrichten. Der Spielbetreiber hat für mathematisch Interessierte den Graphen einer sogenannten kumulativen Verteilungsfunktion \(F\) mit \(F(x) = P(X \leq x)\) angegeben. Die Zufallsvariable \(X\) gibt dabei die Größe des auszuzahlenden Betrags an. Aus der Abbildung lassen sich die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Auszahlungsbeträge ermitteln, wobei die Variable \(x\) angibt, welche Werte die Zufallsvariable \(X\) annimmt, d. h. wie groß die einzelnen auszuzahlenden Beträge sind. Bei diesem Spiel sind sie, wie oben angegeben, \( 0 Eur\), \(1 Eur\), \(2 Eur\) oder \(4 Eur\).

 

 

Aufgabenstellung: 

a) Ermitteln Sie mithilfe der Graphik die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen \(X\) und tragen Sie die entsprechenden Werte in der nachstehenden Tabelle ein! 

 

 

 

Begründen Sie, warum die Funktion \(F\) monoton steigend ist und warum das Maximum von F immer 1 sein muss! 

 

Eine kumulierte Verteilungsfunktion entsteht durch SummenbildungMultiplikationSubtraktionDivision der Einzelwahrscheinlichkeiten. Da die Einzelwahrscheinlichkeiten definitionsgemäß immer größer als \(0\)kleiner als \(0\)größer oder gleich \(0\) kleiner oder gleich \(0\) sein müssen, ist die Funktion \(F\) monoton steigend. Das Maximum muss \(1\) sein, da das Produkt aller Einzelwahrscheinlichkeiten einer Wahrscheinlichkeitsverteilung \(1\) ergeben muss. da die Differenz aller Einzelwahrscheinlichkeiten einer Wahrscheinlichkeitsverteilung \(1\) ergeben muss. da der Quotient aller Einzelwahrscheinlichkeiten einer Wahrscheinlichkeitsverteilung \(1\) ergeben muss. da die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten einer Wahrscheinlichkeitsverteilung \(1\) ergeben muss.

 

 

b) Der Erwartungswert von \(X\) beträgt bei diesem Spiel 1,8 \(Eur\), d. h., im Mittel beträgt der auszuzahlende Betrag 1,8 \(Eur\). Versetzen Sie sich in die Lage des Spielbetreibers. Wie groß wählen Sie den Betrag der Spielgebühr \(e\) pro Drehung mindestens, wenn Sie die Größe des Erwartungswerts von \(X\) kennen? Geben Sie eine Begründung für Ihre Wahl an! 

Die Zufallsvariable \(Y\) gibt die Höhe des (tatsächlichen) Gewinns aus der Sicht der Spielerin/des Spielers an.  Welche Werte \(y\) wird der Gewinn in Abhängigkeit von \(e\) bei den bekannten Auszahlungsbeträgen  \( 0 Eur\), \(1 Eur\), \(2 Eur\) oder \(4 Eur\) annehmen?  Vervollständigen Sie die Tabelle und geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(Y\) an! 

 

 

 

Der Spielbetreiber möchte auf lange Sicht einen Gewinn und keinen Verlust erzielen, also muss \(e\) größer als\(e\) gleich\(e\) kleiner als 1,8 \(Eur\) sein.