Die Aufgabenstellung:
2♦
| ☐ keine Hilfsmittel erforderlich | ☒ gewohnte Hilfsmittel möglich | ☐ besondere Technologie erforderlich |
Manche einjährige Nutz- und Zierpflanzen wachsen in den ersten Wochen nach der Pflanzung sehr rasch. Im Folgenden wird nun eine spezielle Sorte betrachtet. Die endgültige Größe einer Pflanze der betrachteten Sorte hängt auch von ihrem Standort ab und kann im Allgemeinen zwischen \(1,0 m\) und \(3,5 m\) liegen. Pflanzen dieser Sorte, die im Innenbereich gezüchtet werden, erreichen Größen von \(1,0 m\) bis \(1,8 m\).
In einem Experiment wurde der Wachstumsverlauf dieser Pflanze im Innenbereich über einen Zeitraum von 16 Wochen beobachtet und ihre Höhe dokumentiert. Im Anschluss wurde die Höhe \(h\) dieser Pflanze in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) durch eine Funktion \(h\) mit \(h(t) = \frac{1}{ 21} ∙ (–t^3 + 26t^2 + 101)\) modelliert. Dabei bezeichnet \(t\) die Anzahl der Wochen seit der Pflanzung und \(h(t)\) die Höhe zum Zeitpunkt \(t\) in Zentimetern. Die nachstehende Abbildung zeigt schematisch den Graphen der Funktion \(h\).
In einem Experiment wurde der Wachstumsverlauf dieser Pflanze im Innenbereich über einen Zeitraum von 16 Wochen beobachtet und ihre Höhe dokumentiert. Im Anschluss wurde die Höhe \(h\) dieser Pflanze in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) durch eine Funktion \(h\) mit \(h(t) = \frac{1}{ 21} ∙ (–t^3 + 26t^2 + 101)\) modelliert. Dabei bezeichnet \(t\) die Anzahl der Wochen seit der Pflanzung und \(h(t)\) die Höhe zum Zeitpunkt \(t\) in Zentimetern. Die nachstehende Abbildung zeigt schematisch den Graphen der Funktion \(h\).
Aufgabenstellung:
a) Berechnen Sie den Wert des Quotienten \(\frac{h(9) – h(0)}{9}\) und den Wert von \(h'(4)\)! Geben Sie an, welche Bedeutung die beiden berechneten Ergebnisse im gegebenen Kontext haben! (Runden Sie auf zwei Nachkommastellen)
Der Differenzenquotient gibt die
im Intervall an.
Es ist . Dieser Differentialquotient gibt die
zum Zeitpunkt an.
b) Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Funktion \(h\) im gegebenen Intervall keinen lokalen Hochpunkt hat! Begründen Sie Ihre Rechenschritte!
In einem Hochpunkt muss die Tangente an den Graphen
sein, dh. die
muss an dieser Stelle den Wert annehmen.
Die Funktion hat an der Stelle \(t=\) ein lokales Minimum, bei \(t=\) ein Maximum. Dieser Wert
der Funktion.
c) Für das Wachstum der beobachteten Pflanze ist auch die entsprechende Düngung von Bedeutung. Im gegebenen Fall wurde die Pflanze zwei Wochen vor dem Zeitpunkt des stärksten Wachstums gedüngt. Ermitteln Sie diesen Zeitpunkt durch Rechnung! Begründen Sie Ihre Überlegungen!
Zur Zeit \(t=\) Wochen ist die Wachstumgeschwindigkeit am größten. Das ist der Zeitpunkt zu dem gilt:
d) Im selben Zeitraum wurde das Höhenwachstum von zwei weiteren Pflanzen der gleichen Sorte beobachtet und modelliert. Die nachstehenden Abbildungen zeigen die Graphen der entsprechenden Funktionen \(h_1\) und \(h_2\) im Interval \([0; 16]\).
Vergleichen Sie das Krümmungsverhalten der Funktionen \(h\), \(h_1\) und \(h_2\) und interpretieren Sie es im Hinblick auf das Wachstum der drei Pflanzen!
Die Funktion
die Funktion
das Krümmungsverhalten der Funktion
Das bedeutet, die Wachstumsgeschwindigkeit derjenigen Pflanze, die durch \(h_1\) beschrieben wird, und die Wachstumsgeschwindigkeit derjenigen Pflanze, die durch \(h_2\) beschrieben wird,
Quellen:
https://www.bifie.at/downloads (01.08.2016)
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