5. Sonnenaufgang

a) Während der Morgendämmerung wird es kontinuierlich heller. Die Beleuchtungsstärke bei klarem Himmel kann an einem bestimmten Ort in Abhängigkeit von der Zeit näherungsweise durch folgende Exponentialfunktion E beschrieben werden:
\(E(t) = 80 \cdot  a^t\) mit \(–60 ≤ t ≤ 30\)
\(t\)... Zeit in min, wobei \(t = 0\) der Zeitpunkt des Sonnenaufgangs ist
\(E(t)\) ... Beleuchtungsstärke zur Zeit t in Lux
\(a\) ... Parameter

1) Interpretieren Sie die Zahl \(80\) in der Funktionsgleichung von E im gegebenen Sachzusammenhang.

 

Die Beleuchtungsstärke verdoppelt sich alle 5 min.

2) Berechnen Sie den Parameter a.

 

a =

 

b) An einem Wintertag wurde die Beleuchtungsstärke E in Lux am Morgen und zu Mittag gemessen. Die dekadischen Logarithmen (Logarithmen zur Basis 10) der beiden Messergebnisse sind nachstehend dargestellt:

 

 

Marco behauptet, die Beleuchtungsstärke E sei an diesem Tag zu Mittag 4-mal so hoch wie am Morgen gewesen.

1) Zeigen Sie, dass Marcos Behauptung falsch ist.

 

 

c) In der nachstehenden Grafik ist die jeweilige Uhrzeit des Sonnenaufgangs in Wien für die ersten 150 Tage eines Jahres dargestellt.

 

 

1) Ermitteln Sie mithilfe der obigen Grafik, wie viele Tage nach der Zeitumstellung der Sonnenaufgang erstmals zu einer früheren Uhrzeit als unmittelbar vor der Zeitumstellung stattfindet.

 

 Tage

 

Im Zeitintervall [0; 40] kann die Uhrzeit des Sonnenaufgangs näherungsweise durch eine quadratische Funktion f modelliert werden.
\(f(t) = a \cdot  t^2 + c\)
\(t\) … Zeit seit Jahresbeginn in Tagen
\(f(t)\) … Uhrzeit des Sonnenaufgangs am Tag t in Stunden

2) Argumentieren Sie anhand der obigen Grafik, dass der Parameter a dabei negativ sein muss.