8. Regenschirm

a) An den Enden eines Regenschirms ist eine \(110\ cm\) lange Schnur befestigt. Der Schirm ist so an einen Haken \(C\) gehängt, dass die beiden Schnurabschnitte einen Winkel von \(120^\circ\) einschließen. Der Punkt \(A\) ist \(25\ cm\) weit vom Haken \(C\) entfernt. (Siehe nachstehende nicht maßstabgetreue Skizze.)

 

 

1) Berechnen Sie die Länge \(\overline{AB}\) des Regenschirms.

\(\overline{AB} = \) \(cm\)

Derselbe Regenschirm wird nun so aufgehängt, dass die beiden Schnurabschnitte einen rechten Winkel einschließen. Dadurch ändert sich die Länge der Schnurabschnitte.

2) Berechnen Sie, welche Entfernungen der Punkt \(A\) in diesem Fall vom Haken \(C\) haben kann.

 \(cm\) oder  \(cm\)

 

b) Die Bespannung des Regenschirms besteht aus Flächenteilen, die jeweils durch 2 Geraden und den Graphen der Funktion f begrenzt werden (siehe nachstehende Abbildung).

 

 

Für die Funktion \(f\) gilt:
\(f(x) = – \frac{1}{98}\cdot x^2 + 2\)
\(x\), \(f(x)\) ... Koordinaten in \(cm\)

1) Berechnen Sie den Flächeninhalt des grau markierten Flächenteils.

 \(cm^2\)

 

c) Für einen Kunsthandwerksmarkt werden Regenschirme angefertigt.
Bei der Herstellung der Regenschirme treten unabhängig voneinander 2 Arten von Fehlern auf. Man weiß aus Erfahrung:

1) Ergänzen Sie die Wahrscheinlichkeiten im nachstehenden Baumdiagramm.

 

 

 

Regenschirme, die beide Fehler aufweisen („III. Wahl“), werden um € \(2\) pro Stück verkauft.
Regenschirme, die nur einen von beiden Fehlern aufweisen („II. Wahl“), werden um € \(15\) pro Stück verkauft.
Regenschirme, die keinen Fehler aufweisen („I. Wahl“), werden um € \(30\) pro Stück verkauft.

2) Vervollständigen Sie die nachstehende Tabelle.

 

 

3) Berechnen Sie den Erwartungswert für die Einnahmen pro verkauftem Regenschirm.

 Euro