Theorie:
Betrachten wir folgende Situation:
Eine Kanonenkugel wird auf eine Mauer abgefeuert und stößt in diese ein Loch.
Um ein Loch in die Mauer zu schlagen, muss die Kanonenkugel einen gewissen Impuls, eine gewisse Energie, d.h. eine gewisse Geschwindigkeit haben (wird die Kugel nur sanft gegen die Wand gerollt, wird nichts passieren).
Betrachten wir nun dieselbe Situation aus einem relativ zur Kanone bewegten Inertialsystem (der Einfachheit halber wollen wir dieses System normal zur Flugrichtung bewegen, sodass uns Phänomene wie die Lorentzkontraktion nicht zu kümmern brauchen). Wenn wir uns schnell genug bewegen, wird eine Zeitdilatation eintreten, d.h. für die Kanonenkugel wird die Zeit langsamer vergehen, da sie aus unserer Sicht sehr schnell bewegt ist:
Natürlich wird die Kugel hier dasselbe Loch in die Wand schlagen - schließlich wäre es absurd, wenn für ein Beobachtungssystem ein Loch erscheint, während für ein anderes die Kugel von der Wand aufgehalten wird. Wenn wir uns aber schnell genug (relativ zur Kanone) bewegen, so wird die Geschwindigkeit der Kugel immer kleiner. Wie kann sie trotzdem schnell genug sein, um die Mauer zu durchbrechen?
Die zum Durchbrechen der Mauer relevante Größe ist der Impuls \(p = m\cdot v\). Solange dieser in einem System groß genug ist, kann die Mauer durchbrochen werden - unabhängig von den einzelnen Faktoren Masse und Geschwindigkeit.
Nennen wir unsere Bewegungsgeschwindigkeit (relativ zur Kanone in \(x\)-Richtung) \(v\) und jene der Kugel (ebenfalls relativ zur Kanone, in \(y\)-Richtung) \(u\).
Aus unserer Sicht müsste die Kanonenkugel aufgrund der Zeitdilatation eine senkrechte Geschwindigkeitskomponente von
\(u_y' = \frac{u}{\gamma} = u \cdot \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\)
haben (die Geschwindigkeit in \(x\)-Richtung, die die Kanonenkugel aus unserer Sicht wegen unserer eigenen Bewegung hat, interessiert uns hier nicht).
Aus Konsistenzgründen (damit in allen Inertialsystemen die Mauer durchschlagen wird) fordern wir, dass die Impulskomponente normal zu unserer Bewegung (also in Bewegungsrichtung der Kanonenkugel) aus Sicht beider Systeme gleich sein muss. Das ist aber nur möglich, wenn die Masse in gleichem Maß zunimmt, wie die Geschwindigkeit abnimmt!
Dadurch erhalten wir:
\(u\cdot m = u_y'\cdot m'\)
\(m' = m \frac{u}{u_y'} = \gamma \cdot m\).
Wichtig!
Bewegte Massen erscheinen um den Lorentzfaktor schwerer:
\(m' = m \gamma = \frac{m}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\)
\(m' = m \gamma = \frac{m}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\)
Zur besseren Unterscheidung nennen wir diese bewegte Masse die dynamische Masse.