4. Lorentztransformation im Minkowskidiagramm

Wir haben bereits gesehen, dass die Formeln der Zeitdilatation und der Lorentzkontraktion in natürlichen Einheiten symmetrisch zueinander sind. Da diese Effekte das Verhalten von Raum in Zeit aus Sicht bewegter Inertialsysteme beschreiben, gilt dasselbe auch für die entsprechenden Koordinatenachsen des Minkowskidiagramms.

Stellen wir dazu einige Überlegungen an.

Die \(ct\)-Achse des Minkowskidiagramms ist charakterisiert durch die Gleichung

\(x = 0\),

ebenso ist die \(x\)-Achse charakterisiert durch

\(ct = 0\).

 

Nun möchten wir in dieses Diagramm die Achsen eines zweiten Inertialsystems \(S'\) einzeichnen, das relativ zum ungestrichenen System mit einer gewissen Geschwindigkeit \(v\) in \(x\)-Richtung bewegt ist. Wir erinnern uns an die Lorentztransformation, mit der wir diese Koordinaten berechnen können:

\(x' = \gamma \left(x - \frac vc ct\right)\),

\(ct' = \gamma \left(ct - \frac vc x\right)\).

 

Analog zu oben gilt im gestrichenen System:

Die \(ct'\)-Achse ist gegeben durch \(x' = 0\),

die \(x'\)-Achse ist gegeben durch \(ct' = 0\).

 

Durch Einsetzen in die Lorentztransformationsformeln erhalten wir die linearen Gleichungen

\(x' = \gamma \left(x - \frac vc ct\right) = 0\) bzw.

\(x - \frac vc ct = 0\)

für die \(ct'\)-Achse und

\(ct' = \gamma \left(ct - \frac vc x\right) = 0\) bzw.

\(ct - \frac vc x = 0\) für die \(x'\)-Achse.

 

 

Diesen linearen Gleichungen entsprechen Geraden im Minkowskidiagramm, die wir einfach einzeichnen können:

 

Wir sehen, dass die Achsen des bewegten Systems gegenüber den ursprünglichen "zusammengeklappt" erscheinen. Aus den Gleichungen können wir ablesen, dass der Winkel zwischen den ursprünglichen und den neuen Koordinatenachsen von der Bewegungsgeschwindigkeit abhängt:

Daraus erkennen wir auch: Je näher die Relativgeschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit kommt, umso näher aneinander liegen die beiden Koordinatenachsen.