3. Die Keplerschen Gesetze

Diesmal sollte es nicht mehr so viele Jahrhunderte dauern, bis die Probleme, die das kopernikanische Weltbild beinhaltete, behoben waren. Der um \(1600\) lebende Mathematiker und Astronom Johannes Kepler (der eine Zeit lang auch in Linz arbeitete), interessierte sich sehr für den Aufbau des Sonnensystems, und war von den kopernikanischen Ideen sehr beeindruckt. Er entwarf zunächst eine eigene Theorie über die Verhältnisse der Planetenbahnradien, die er in Bezug mit den platonischen Körpern setzte. Mit den bislang vorhandenen, sehr ungenauen astronomischen Beobachtungen stimmte seine Theorie gut überein, aber Kepler wollte seine Theorie mit genaueren Messungen überprüfen, und zog deswegen nach Prag, um mit dem Astronomen Tycho Brahe zusammenzuarbeiten. Dieser hatte inbesondere die Bahn von Mars sehr genau vermessen.

 

 

Kepler studierte diese Daten eingehend, und kam zu dem Schluss, dass die von Kopernikus postulierten Kreisbahnen nicht haltbar waren. Die Beobachtungs-Daten Tycho Brahes ließen sich einfach nicht mit einer Kreisbahn in Einklang bringen. Und an diesem Punkt tat Kepler den bedeutungsvollen Schritt, dass er die auf Aristoteles zurückgehende Annahme, die Planeten bewegten sich auf Kreisbahnen, verwarf! Von fast noch größerer Bedeutung war die von Kepler vorgeschlagene Alternative: Ellipsenbahnen! Kepler erkannte als Erster, dass Planeten sich nicht auf Kreisbahnen, sondern auf Ellipsen um die Sonne bewegten.

Kepler formulierte \(1609\) und in den Jahren darauf drei Gesetze, die im Gegensatz zu den aristoteleischen und kopernikanischen Ideen tatsächlich gelten, und experimentell bestätigt werden konnten. Diese drei Gesetze sind gemeinhin als "Keplersche Gesetze" bekannt.

Was ist eine Ellipse? Eine Ellipse entsteht zum Beispiel bei einer "Schrägansicht" (Parallelprojektion) eines Kreises, oder wenn man einen Drehzylinder schräg (aber nicht vertikal) mit einer Ebene schneidet, oder auch, wenn man einen Drehkegel mit einer Ebene schneidet (diese darf nicht zu steil sein).

 

 

 

Mathematisch kann man eine Ellipse beispielsweise definieren als die Menge aller Punkte in einer Ebene, für die die Summe der Abstände zu zwei festen Punkten (die Brennpunkte) immer gleich ist. Das ermöglicht einem, eine Ellipse mit Hilfe einer Schnur zu zeichnen, wie in dem folgenden Video gezeigt. Beachte: die Länge der Schnur zwischen den Reißzwecken ist immer gleich lang - für jeden Punkt auf der Ellipse ist der Abstand zur ersten Reißzwecke plus dem Abstand zur zweiten Reißzwecke immer gleich die Länge der Schnur. Die Positionen der Reißzwecken sind die Brennpunkte der Ellipse:

 

Für Planeten sieht eine Ellipsenbahn also folgendermaßen aus (der Punkt "Fokus" ist der zweite Brennpunkt der Ellipse, spielt aber in der Realität keine Rolle):

 

Die Formen der Ellipsen können natürlich stark variieren. So wie in obigem Video gezeigt, gibt es "flachere" Ellipsen (man sagt, sie haben eine größere Exzentrizität), oder weniger flache Ellipsen. Der Kreis ist ein Sonderfall einer Ellipse (mit Exzentrizität null). Tatsächlich sind die meisten Planetenbahnen fast kreisförmige Ellipsen. Glücklicherweise für Kepler zählt Mars zu den Planeten mit einer verhältnismäßig exzentrischen Bahn, sie unterscheidet sich somit deutlicher von einer Kreisbahn.

 

Am Besten kann das mit einer Skizze illustriert werden:

\(A\) ist in der Skizze die überstrichene Fläche der Verbindungsline Planet-Sonne, und \(t\) ist die dabei vergangene Zeit. Egal, wo sich der Planet gerade auf der Ellipse befindet: Die in der gleichen Zeit überstrichenen Flächen sind immer gleich. Dies liefert einem Informationen über die Zeitabhängigkeit der Bewegung, insbesondere die Geschwindigkeit. Je näher der Planet auf seiner Bahn an die Sonne herankommt, desto schneller ist er.

 

 

Kuben sind die dritten Potenzen. Die Bahnhalbachse einer elliptischen Bahne ist die Hälfte des größten Durchmessers der Ellipse.

 

 

Dieses bemerkenswerte Gesetz ermöglicht einem, bei bloßer Kenntnis der Bahnhalbachse die Umlaufzeit eines Planeten zu berechnen! Die Exzentrizität der Bahn spielt keine Rolle!