Theorie:
Kommen in allen Gleichungen eines Gleichungssystems die gleichen komplizierteren Ausdrücke der Variablen vor, so kann man das Gleichungssystem durch Variablensubstitution vereinfachen. Dabei werden eine oder mehrere neue Variablen definiert, die diese komplizierten Ausdrücke ersetzen.
Beispiel:
Wir wollen das Gleichungssystem lösen.
Lösung.
Lösung.
Wir definieren neue Variablen:
Dann kann man das System vereinfachen:
Dieses System kann nun z.B. mit dem Einsetzungsverfahren gelöst werden:
\(u = 5 - v\) (aus der zweiten Gleichung)
\(v (5 - v) = 6\) (obiger Wert in die erste Gleichung eingesetzt)
\(-v^2 + 5 v - 6 = 0\) (ausmultipliziert)
Diese quadratische Gleichung kann mit der großen oder kleinen Lösungsformel gelöst werden.
Zu jeder der beiden dadurch erhaltenen Lösungen \(v\) können wir aus der obigen Gleichung das zugehörige \(u\) berechnen.
Die Lösungen des Systems sind zwei Zahlenpaare:
Kehren wir zu den Variablen \(x\) und \(y\) zurück und lösen die Systeme:
Antwort: \((1;2)\) und \((2;1)\) sind Lösungen.