Theorie:
Erinnern wir uns an unser Problem aus der ersten Theorieeinheit: Der Preis für zwei Burger plus ein Mineralwasser ist 10 Euro; für einen Burger und zwei Mineralwasser muss man 8 Euro bezahlen. Das hat uns auf ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit zwei Unbekannten geführt:
\( 2x + \;\;y = 10\) (I)
\( \;\;x + 2y = \;\;8\) (II)
Wenn wir jede dieser Gleichungen nach \(y\) auflösen, bekommen wir zwei Ausdrücke für \(y\):
- Die Gleichung (I) haben wir schon in der letzten Einheit nach \(y\) aufgelöst und diesen Ausdruck bekommen:
\(y = 10-2x = -2x+10\) (*)
- Lösen wir die Gleichung (II) nach \(y\) auf, erhalten wir
\(x+2y=8\quad | \; -x\)
\( 2y = 8-x \quad | \; :2 \)
\( y = 4 - \frac12 x = -\frac12x + 4 \) (**)
Wir sehen also, dass wir zwei verschiedene Ausdrücke (*) und (**) für \(y\) aus den beiden Gleichungen erhalten. Beide sind außerdem Gleichungen linearer Funktionen und stellen daher Geraden in einem Koordinatensystem dar. Erinnern wir uns: Lineare Funktionen haben die folgende Form
\[ y = kx + d \,.\]
Dabei ist \(k\) die Steigung der Gerade, und \(d\) ist der Achsenabschnittsparameter, der anzeigt, wo die Gerade die y-Achse schneidet.
Die Gerade, die (*) entspricht, hat also \(k=-2\) und \(d=10\), während bei der Geraden zu (**) \(k=-\frac12\) und \(d=8\) sind. Zeichnen wir diese beiden Geraden einmal in ein Koordinatensystem ein:
Die blaue Gerade entspricht der ersten Gleichung. Alle Punkte, die auf der blauen Linie liegen, wären mögliche Lösungen für \(x\) und \(y\) (die den x- und y-Koordinaten der Punkte entsprechen), wenn uns nur die Gleichung (I) gegeben wäre.
So liegt z.B. der Punkt (3|4) auf der blauen Geraden; also wäre \(x=4\) und \(y=3\) eine mögliche Lösung für die Gleichung (I): Wenn ein Burger 4 Euro und ein Mineralwasser 3 Euro kostet, dann ist die Rechnung für zwei Burger und ein Mineralwasser auch gleich 10 Euro. Es gibt bei nur einer Gleichung mit zwei Unbekannten sogar unendlich viele Lösungen, genauso wie es unendlich viele Punkte auf einer Geraden gibt.
Aber die Gleichung (II) wird durch den Punkt (3|4), also \(x=4\) und \(y=3\), nicht erfüllt. Denn ein Burger und zwei Mineralwasser würden dann \(4+2\cdot 3 = 10\) Euro kosten, und nicht 8 Euro, wie in (II) gefordert. Die rote Gerade stellt nämlich die (ebenfalls unendlich vielen) Lösungen der Gleichung (II) dar.
Eine eindeutige Lösung erhalten wir erst, wenn beide Gleichungen erfüllt sein müssen. Ein Punkt, der eine Lösung für beide Gleichungen darstellt, muss daher auf beiden Geraden liegen. Der einzige Punkt, der das erfüllt, ist aber der Schnittpunkt der beiden Geraden, der im Bild oben mit S(4|2) markiert ist. Er entspricht unserer schon früher gefundenen Lösung von \(x=4\) und \(y=2\).
Erst durch zwei Geraden wird also der Punkt und damit die Lösung bestimmt. Daher brauchen wir für zwei Unbekannte ein LGS mit zwei Gleichungen.
Wir können den Schnittpunkt der beiden Geraden rechnerisch bestimmen: Unsere Geraden waren
\(y = -2x+10\) (*)
\( y = -\frac12x + 4 \) (**)
\( y = -\frac12x + 4 \) (**)
Um den Schnittpunkt zu bestimmen, werden die y-Werte gleichgesetzt:
\(-2x+10 = -\frac12x + 4 \quad | \; -4+2x \)
\( 6 = \frac32 x \quad | \; :\frac32 \)
\( 6 \cdot \frac23 = x \)
\( 4 = x \)
Diesen gefundenen Wert \(x=4\) können wir in eine beliebige der beiden Geradengleichungen (*) oder (**) einsetzen. In jedem Fall ergibt sich der Wert \(y=2\). Diese Lösung entspricht unserem früher gefundenen Ergebnis, und der Schnittpunkt liegt also tatsächlich genau bei S(4|2).