Theorie:
Schauen wir uns im Folgenden einige Beispiele an, wie ein LGS mit zwei Unbekannten gelöst wird:
Beispiel 1:
\( 2x + 6y = 10\) (I)
\( 3x - 5y = \;\;1\) (II)
Hier müssen wir uns zuerst entscheiden, ob wir \(x\) oder \(y\) eliminieren wollen. Wir müssen die Gleichungen so multiplizieren, dass vor \(x\) oder vor \(y\) die gleiche Zahl steht. Vor \(y\) stehen die beiden Zahlen \(6\) und \(5\). Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser beiden Zahlen ist \(30\), und wir müssten (I) mit \(5\) und (II) mit \(6\) multiplizieren, um auf jeweils \(30y\) zu kommen. Die Zahlen werden dadurch relativ groß. Einfacher geht es, wenn wir \(x\) eliminieren wollen: dann reicht es, (I) mit \(3\) und (II) mit \(2\) zu multiplizieren, um auf das gemeinsame Vielfache von \(6x\) zu kommen.
\( 6x + 18y = 30\) \(3\cdot\)(I)
\( 6x - 10y = \;\;2\) \(2\cdot\)(II)
Wenn wir diese beiden Gleichungen subtrahieren, fallen diesmal die Terme mit \(x\) weg:
\( 6x + 18y = 30\) \(3\cdot\)(I)
\( 6x - 10y = \;\;2\) \(2\cdot\)(II)
————————\( \qquad \; 28y = 28 \) \(3\cdot\)(I) \(-2\cdot\)(II) \( | \; :28 \)
\( \qquad \quad\; y = \;\;1 \)
Beachte bei der Subtraktion oben, dass \(18y-(-10y) = 18y+10y=28y\) ist! Wenn wir diese Lösung für \(y\) in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen einsetzen, erhalten wir \(x\). Wir entscheiden uns für (II):
\( 3x - 5\cdot 1 = 1\) \(y=1\) eingesetzt in (II)
\( 3x - 5 = 1 \quad | \; +5 \)
\( 3x = 6 \quad | \; :3 \)
\( x =2 \)
Unsere Lösung ist daher \(x=2\) und \(y=1\) oder das Zahlenpaar \((2|1)\).
Beispiel 2:
\( 2x + 12y = \;30\) (I)
\( 3x - \;\;6y = -3\) (II)
Sollen wir hier \(x\) oder \(y\) eliminieren? Zunächst sieht es so aus, als ob wir \(x\) eliminieren wollen: dann reicht es wiederum, (I) mit \(3\) und (II) mit \(2\) zu multiplizieren, um auf das gemeinsame Vielfache von \(6x\) zu kommen, während vor den \(y\) größere Zahlen stehen. Andererseits sehen wir auf den zweiten Blick, dass \(12y\) das Doppelte von \(6y\) sind. Zur Elimination von \(y\) reicht es also aus, nur (II) mit \(2\) zu multiplizieren. Das erscheint uns einfacher, und wir berechnen
\( 2x + 12y = \;30\) (I)
\( 6x - 12y = -6\) \(2\cdot\)(II)
Wenn nun die Terme mit \(y\) wegfallen sollen, dürfen wir nicht subtrahieren; denn \(12y-(-12y) = 24y\). In diesem Fall müssen wir die beiden Gleichungen addieren, dann ergibt sich \(12y+(-12y) = 0\). Als allgemeine Regel kann man sich merken:
Wenn in den beiden Gleichungen vor der zu eliminierenden Variablen das gleiche Vorzeichen bzw. Rechenzeichen steht (plus oder minus), dann subtrahieren wir die beiden Gleichungen. Steht dagegen in einer Gleichung ein Plus und in der anderen ein Minus, dann addieren wir. Denn in jedem Fall wollen wir erreichen, dass Null herauskommt und die Unbekannte somit wegfällt.
Wir addieren also die beiden Gleichungen:
\( 2x + 12y = \;30\) (I)
\( 6x - 12y = -6\) \(2\cdot\)(II)
————————\( 8x \qquad \;\;\; = 24 \) (I) \(+2\cdot\)(II) \( | \; :8 \)
\( \;\; x \qquad \;\;\; = \;\,3 \)
Wenn wir diese Lösung für \(x\) in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen einsetzen, erhalten wir \(y\). Wir entscheiden uns für (I):
\( 2\cdot 3 + 12y = 30\) \(x=3\) eingesetzt in (I)
\( 6+12y = 30 \quad | \; -6 \)
\( 12y = 24 \quad | \; :12 \)
\( y =2 \)
Unsere Lösung ist daher \(x=3\) und \(y=2\) oder das Zahlenpaar \((3|2)\).