Theorie:
In den meisten Fällen hat ein LGS mit zwei Unbekannten eine eindeutige Lösung für \(x\) und \(y\). Manchmal gibt es jedoch unendlich viele oder gar keine Lösungen. Wir sehen uns diese beiden Fälle einmal an:
Beispiel 1: unendlich viele Lösungen
\( \;\;\; 2x - 6y = \;\;\;4\) (I)
\( -3x + 9y = -6\) (II)
Wir sehen, dass wir \(x\) eliminieren können, wenn wir (I) mit \(3\) und (II) mit \(2\) multiplizieren:
\( \;\;\;6x - 18y = \;\;\;12\) \(3\cdot\)(I)
\( -6x +18y = -12\) \(2\cdot\)(II)
Das sieht seltsam aus; wenn wir nun die beiden Gleichungen addieren, um \(x\) zu eliminieren, fällt \(y\) gleich mit weg. Auch auf der rechten Seite bleibt nichts übrig:
\( \;\;\;6x - 18y = \;\;\;12\) \(3\cdot\)(I)
\( -6x +18y = -12\) \(2\cdot\)(II)
——————————\( \qquad \qquad 0 = \;\;\; 0 \) \(3\cdot\)(I) \(+2\cdot\)(II) (w.A.)
Die übrig bleibende Gleichung \(0=0\) ist in jedem Fall eine wahre Aussage (w.A.). Das hat zur Konsequenz, dass es unendlich viele Lösungen für das Zahlenpaar \((x|y)\) gibt.
Um besser zu verstehen, warum das so ist, versuchen wir aus beiden Gleichungen die entsprechende Geradengleichung zu bilden. Gleichung (I) wird dann zu
\( 2x - 6y = 4\) (I) \(| \;-2x\)
\(-6y = 4-2x \) \(|\; :(-6)\)
\(y = -\frac{4-2x}{6} = \frac13 x - \frac23 \)
Aus Gleichung (II) wird die Gerade
\( -3x + 9y = -6\) (II) \(| \;+3x\)
\(9y = 3x-6\) \(|\; :9\)
\(y = \frac{3x-6}{9} = \frac13 x - \frac23 \)
In beiden Fällen erhalten wir also die selbe Gerade \(y = \frac13 x - \frac23 \). Da die beiden Geraden übereinander liegen, haben sie also unendlich viele gemeinsame Punkte; nicht nur einen Schnittpunkt. Jeder Punkt \((x|y)\) auf dieser Geraden, die im Bild eingezeichnet ist, löst das LGS.
Durch die Gleichung (II) kommt also gar keine neue Information über \(x\) und \(y\) hinzu, die wir nicht schon aus (I) wissen. Denn wenn wir (I) mit \(-\frac32\) multiplizieren, erhalten wir (II):
\( \;\;\; 2x - 6y = \;\;\;4\) (I)
\( -3x + 9y = -6\) (II) = \(-\frac32\cdot\)(I)
Das gilt allgemein: Gibt es eine Zahl, mit der wir (II) aus (I) oder (I) aus (II) durch Multiplizieren mit dieser Zahl erhalten, hat das LGS unendlich viele Lösungen. Wir merken dies auch daran, dass wir beim Lösen unseres LGS auf eine wahre Aussage (w.A.) stoßen. Diese Lösungen liegen alle auf der selben Geraden, die aus (I) und (II) hervorgeht.
Beispiel 2: keine Lösung
\( \;\;\; 2x - 6y = \;\;\;4\) (I)
\( -3x + 9y = -3\) (II)
Wieder können wir \(x\) eliminieren, wenn wir (I) mit \(3\) und (II) mit \(2\) multiplizieren:
\( \;\;\;6x - 18y = \;12\) \(3\cdot\)(I)
\( -6x +18y = -6\) \(2\cdot\)(II)
Auch hier fällt nicht nur \(x\) weg, wenn wir die beiden Gleichungen addieren, sondern \(y\) gleich mit. Diesmal bleibt aber auf der rechten Seite ein von Null verschiedener Wert übrig:
\( \;\;\;6x - 18y = \;12\) \(3\cdot\)(I)
\( -6x +18y = -6\) \(2\cdot\)(II)
——————————\( \qquad \qquad 0 = \;\;\; 6 \) \(3\cdot\)(I) \(+2\cdot\)(II) (f.A.)
Die übrig bleibende Gleichung \(0=6\) ist in jedem Fall eine falsche Aussage (f.A.). In so einem Fall gibt es überhaupt keine Lösung für das Zahlenpaar \((x|y)\).
Um diesen Fall besser zu verstehen, bilden wir wieder aus (I) und (II) unsere Geradengleichungen. Gleichung (I) haben wir vom ersten Beispiel übernommen; sie ergibt wie oben gerechnet die Gerade
\(y = \frac13 x - \frac23 \)
Aus Gleichung (II) wird die Gerade
\( -3x + 9y = -3\) (II) \(| \;+3x\)
\(9y = 3x-3\) \(|\; :9\)
\(y = \frac{3x-3}{9} = \frac13 x - \frac13 \)
Wir erhalten also diesmal eine zu der ersten parallele Gerade \(y = \frac13 x - \frac13 \). Die beiden Geraden sind parallel, weil der Steigungsfaktor \(k=\frac13\) bei beiden gleich ist. Bei der ersten Geraden ist der Achsenabschnittsparameter aber \(d=- \frac23\), während er bei der zweiten gleich \(d'=- \frac23\) ist. Im Koordinatensystem sehen die beiden Geraden so aus:
Da sie parallel liegen, haben sie überhaupt keinen Schnittpunkt. Die Punkte auf der blauen Geraden erfüllen alle die Gleichung (I), während die auf der roten Geraden alle (II) erfüllen. Es gibt aber keinen einzigen Punkt, der beide Gleichungen löst, da die Geraden keinen gemeinsamen Punkt haben. Daher hat das LGS keine Lösung.
Als Regel gilt: Erhalten wir durch Multiplizieren von (I) mit einer bestimmten Zahl die linke Seite von (II), aber nicht die rechte Seite, dann hat das LGS keine Lösung. Beim Eliminieren einer Variablen stoßen wir dann auf eine falsche Aussage (f.A.).
In unserem Beispiel erhalten wir die linke Seite von (II) durch Multiplikation von (I) mit \(-\frac32\), aber die rechte Seite stimmt dann nicht überein:
\( \;\;\; 2x - 6y = \;\;\;4\) (I)
\( -3x + 9y = -6\) \(-\frac32\cdot\)(I)
\( -3x + 9y = -3\) (II)
Beispiel 3: genau eine Lösung
Der häufigste Fall, in dem ein LGS genau eine Lösung hat, ist uns bereits bei allen früheren Beispielen begegnet. Unser LGS mit zwei Unbekannten hat immer dann genau eine Lösung, wenn es keine Zahl gibt, mit der wir die linke Seite einer Gleichung multiplizieren können, und dann die linke Seite der anderen Gleichung erhalten. Wir merken das auch daran, dass die Eliminierung einer Variablen "funktioniert" und \(x\) und \(y\) nicht auf einmal wegfallen.
Wir sehen das bei dem folgenden LGS:
\( 2x + 6y = \;\;\;4\) (I)
\( 4x + 9y = -4\) (II)
Wenn wir die linke Seite von (II) durch Multiplikation von (I) erhalten wollen, müssen wir auf jeden Fall die \(4x\) am Anfang reproduzieren. Das geht nur durch Multiplikation der \(2x\) mit \(2\):
\( 4x + 12y = \;\;\;8\) \(2\cdot\) (I)
Dadurch haben wir zwar den \(x\)-Term erhalten, aber nicht den \(y\)-Term. Würden wir (I) stattdessen mit \(\frac32\) multiplizieren, erhalten wir zwar den korrekten \(y\)-Term:
\( 3x + 9y = \;\;\;6\) \(\frac32\cdot\) (I)
Hier stimmt aber der \(x\)-Term nicht mit (II) überein. Es gibt keine Zahl, mit der wir (I) multiplizieren können, um die linke Seite von (II) zu erhalten. Daher fallen bei einer Elimination nicht beide Variablen weg, und das LGS hat genau eine Lösung.