1. Rotationskörper und Rotationsflächen

Den Zylinder kann man durch die Rotation eines Rechtecks $A{A}_1{O}_{1}O$ um einer der Seiten $O{O}_1$, oder durch die Rotation des Rechtecks $A{A}_1{B}_{1}B$ um der Geraden $O{O}_1$, die durch die Mittelpunkte der  Gegenseiten läuft, bekommen (siehe Zeichnung).

 

 

Die Gerade $O{O}_1$ wird die Zylinderachse genannt, und $A{A}_1$ und $B{B}_1$ werden die Mantellinien oder die Erzeugenden des Zylinders genannt.

 

Die Höhe \(H\) des Zylinders stimmt mit den Strecken $O{O}_1$\(=\)$A{A}_1$\(=\)$B{B}_1$ überein.

 

Die zwei Kreise, die bei der Rotation entstehen, werden die Deck- und die Grundfläche des Zylinders genannt.

 

Der Radius \(R\)\(=\)\(OA\)\(=\)\(OB\) des Zylinders ist der Radius seiner Grundfläche.

Der Achsenschnitt des Zylinders ist der Schnitt des Zylinders mit einer Ebene, die entlang seiner Achse läuft. Der Achsenschnitt des Zylinders (eines geraden Kreiszylinders) ist ein Rechteck (in der gegebenen Zeichnung das Rechteck $A{A}_1{B}_{1}B$).

Das Netz der Mantelfläche des Zylinders ist ein Rechteck:

 

Die Mantelfläche eines geraden Kreiszylinders ist das Produkt des Umfangs des Grundkreises (der Grundfläche) mit der Höhe:
$A_{\mathit{Mantel}}=2\mathrm{\pi }\mathit{RH}$

 

Die Oberfläche des Zylinders wird mit der Formel
$O=A_{\mathit{Mantel}}+2A_{\mathit{Grundfl}.}=2\mathrm{\pi }\mathit{RH}+2\mathrm{\pi }{R}^2$ berechnet.

 

Für das Volumen des Kreiszylinders gilt es:
$V=\mathrm{\pi }{R}^{2}H$

 

Die Achse eines geraden Kreiskegels ist die Gerade \(PO\), die die Höhe \(H\) des Kegels enthält.

Der Achsenschnitt des Kegels, der durch seine Spitze läuft, ist ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Schenkel \(PA\) und \(PB\) die Erzeugenden (oder die Mantellinien) \(l\) des Kegels sind.

 

Der Radius des Kegels \(R\)\(=\)\(OA\)\(=\)\(OB\) ist der Radius der Grundfläche.

 

Das Netz der Mantelfläche des Kegels ist ein Kreissektor:

 

 

Der Radius dieses Sektors ist gleich der Mantellinie des Kegels (\(l\)), und die Länge des Bogens des Sektors ist gleich dem Umfang der Grundfläche des Kegels, d.h. \(2\pi r\).

 

Man bekommt eine Kugel durch die Rotation eines Halbkreises um seinen Durchmesser \(AB\) wie um eine Achse.

 

Die Grenze der Kugel wird die Oberfläche der Kugel oder die Sphäre genannt.

 

Punkte der Sphäre sind alle Punkte der Kugel, die vom Mittelpunkt \(O\) einen Abstand haben, der dem Radius \(R\) entspricht.

  

Jede der Strecken \(OA\), \(OB\), \(OC\) bzw. jede Strecke, die den Mittelpunkt der Kugel mit dem Punkt der Oberfläche der Kugel verbindet, ist der Radius der Kugel.

Die Strecke, die die zwei Punkte der Oberfläche der Kugel verbindet, und durch den Mittelpunkt der Kugel verläuft, wird Durchmesser genannt (\(AB\) in der Zeichnung). Die Endpunkte jedes Durchmessers heißen diametral gegenüberliegende Punkte. 

Schneidet man eine Ebene mit einer Kugel, entsteht immer ein Kreis. Wenn die Ebene den Mittelpunkt der Kugel enthält, entsteht ein Großkreis, anderenfalls, ein Kleinkreis.

 

Die Oberfläche der Kugel (die Sphäre) ist gegeben durch:

 

Das Volumen der Kugel: