Theorie:
Ein Kegel ist ein Rotationskörper, den man durch die Rotation eines rechtwinkligen Dreiecks um eine seiner Katheten erhält.
Das Dreieck \(POA\) rotiert um die Seite \(PO\).
\(PO\) ist die Achse und die Höhe des Kegels.
\(P\) ist die Spitze des Kegels.
\(PA\) ist die Erzeugende (die Mantellinie) des Kegels.
Der Kreis mit dem Mittelpunkt \(O\) ist die Grundfläche des Kegels.
\(AO\) ist der Radius des Kegels.
Der Achsenschnitt des Kegels ist ein Schnitt des Kegels mit einer Ebene, die durch die Achse \(PO\) des Kegels geht.
Der Achsenschnitt des Kegels ist ein gleichschenkliges Dreieck.
\(APB\) ist der Achsenschnitt des Kegels.
sind die Winkel zwischen den Erzeugenden und der Grundfläche des Kegels.
Die Abwicklung der Mantelfläche eines Kegels ist ein Kreissegment. Die Länge des Bogens eines Kreissektors ist die Kreislinie der Grundfläche des Kegels mit der Länge ; der Winkel der Abwicklung der Mantelfläche ist .
In einem Kegel kann der Abwicklungswinkel nicht direkt gesehen werden. Umgekehrt sind die Höhe und der Radius des Kegels auf der Abwicklung nicht direkt ersichtlich.
Der Radius des Sektors ist die Erzeugende des Kegels.
Auf diese Weise ist die Mantelfläche des Kegels ein Teil des vollen Kreises mit dem Radius \(l\):
Die Länge des Bogens ist ein Teil der Länge des vollen Kreises mit dem Radius \(l\); gleichzeitig ist aber die Länge des Bogens auch die Länge der Kreislinie der Grundfläche des Kegels mit dem Radius \(R\).
Man vergleicht die Längen des Bogens und drückt durch \(R\) aus:
Man bekommt noch eine Formel der Mantelfläche des Kegels ohne den Winkel der Abwicklung der Mantelfläche:
Kegelstumpf
Wird ein Kegel mit einer Ebene geschnitten, die orthogonal zur Achse des Kegels geht, teilt sie den Kegel in zwei Teile, wovon einer ein kleinerer Kegel ist. Der zweite Teil wird ein Kegelstumpf genannt.
Man kann den Kegelstumpf auch als einen Rotationskörper betrachten, den man durch die Rotation eines rechtwinkligen Trapezes um seinen Schenkel (der orthogonal zur Grundseite des Trapezes ist) oder durch die Rotation eines gleichschenkligen Trapezes um seine Höhe, die durch die Mittelpunkte der Grundseiten des Trapezes gezogen wird, erhält.
ist die Achse und die Höhe des Kegelstumpfs.
ist seine Erzeugende.
Die Kreise mit den Mittelpunkten \(O\) und sind seine Deck- und Grundfläche.
\(AO\) und sind die Radien der Deck- und Grundfläche des stumpfen Kegels.
Der Achsenschnitt des Kegelstumpfs ist sein Schnitt mit einer Ebene, die durch die Achse verläuft.
Dieser Schnitt hat die Form eines gleichschenkligen Trapezes.
Die Mantelfläche des Kegelstumpfs ist die Differenz der Mantelfläche des großen Kegels (Achse \(OP)\) und des davon "abgeschnittenen" kleineren Kegels (Achse \(O_1P\)):
Da , sind die entsprechenden Seiten proportional:
Auf diese Weise bekommt man die Formel für die Berechnung der Mantelfläche des Kegelstumpfs, die die Radien der Deck- und Grundfläche, sowie die Erzeugende enthält: