Formel für die Raumdiagonale eines Quaders — Theoretisches Material. Mathematik, 7. Schulstufe.

Ein gerades Prisma mit einem Rechteck als Grundseite wird ein Quader genannt.

Die Längen der drei Kanten, die in einem gemeinsamen Eckpunkt zusammentreffen, werden Ausmaße eines Quaders genannt.

Zum Beispiel sind auf dieser Zeichnung die drei Ausmaße des Quaders die Längen der Kanten

{DA, DC, DD}_{1}

Das Quadrat einer Raumdiagonale eines Quaders ist gleich der Summe der Quadrate seiner drei Ausmaße:

D^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}

wobei \(a, b, c\) die Ausmaße eines Quaders, d.h. seine Länge, Breite und Höhe, sind.

Auf der Zeichnung:

{D B_{1}}^{2} = {DA}^{2} + {DC}^{2} + {D D_{1}}^{2}

Wichtig!

Alle Raumdiagonalen eines Quaders sind gleich lang:

D B_{1} = C A_{1} = A C_{1} = B D_{1}

Beispiel:

Formel für die Raumdiagonale eines Würfels

Da die Ausmaße des Würfels gleich lang sind, werden sie mit \(a\) bezeichnet:

D^{2} = a^{2} + a^{2} + a^{2} = 3 a^{2}

Man vereinfacht den Ausdruck und bekommt die Formel für die Raumdiagonale eines Würfels:

D = a \sqrt{3}

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1. Formel für die Raumdiagonale eines Quaders