Theorie:
1. Durch eine Gerade und einen nicht auf der Geraden liegenden Punkt kann eine einzige Ebene gelegt werden.
Beweis:
- Auf der Geraden \(a\) wählt man die Punkte \(B\) und \(C\) aus.
- Da alle 3 Punkte nicht auf einer Geraden liegen, folgt aus dem zweiten Axiom, dass durch die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) eine Ebene gelegt werden kann.
- Die Punkte auf der Geraden \(a\), \(B\) und \(C\), liegen in der Ebene . Deshalb folgt aus dem dritten Axiom, dass die Ebene durch die Gerade \(a\) und durch den Punkt \(A\) geht.
2. Durch zwei einander schneidende Geraden kann man eine einzige Ebene legen.
Beweis:
- Man wählt den Punkt \(A\) auf der Geraden \(a\) und den Punkt \(B\) auf der Geraden \(b\) so aus, dass diese Punkte nicht mit dem Schnittpunkt \(C\) übereinstimmen.
- Aus dem zweiten Axiom folgt, dass durch die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) nur eine einzige Ebene gelegt werden kann. In diesem Fall liegen die Geraden \(a\) und \(b\) in der Ebene (entsprechend dem dritten Axiom).
Beispiel:
Gegeben seien die einander schneidenden Strecken \(AC\) und \(BD\). Man muss beweisen, dass alle Strecken (\(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\)) in einer Ebene liegen.
Lösung:
1) Aus dem zweiten Satz folgt es, dass durch \(AC\) und \(BD\) nur eine Ebene gezogen werden kann, die mit bezeichnet wird. Das bedeutet, dass die Punkte \(A, B, C\) und \(D\) zu der Ebene gehören.
2) Aus dem dritten Axiom folgt, dass alle Punkte der Strecken \(AB\), \(BC\), \(CD\) und \(DA\) zu der Ebene gehören. Deshalb liegen alle entsprechenden Strecken in der Ebene .
2) Aus dem dritten Axiom folgt, dass alle Punkte der Strecken \(AB\), \(BC\), \(CD\) und \(DA\) zu der Ebene gehören. Deshalb liegen alle entsprechenden Strecken in der Ebene .