Theorie:
Eine Gleichung ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme. Sie kann richtig oder falsch, also eine wahre oder falsche Aussage, sein.
Eine Gleichung zu lösen bedeutet, die Werte der Variablen zu finden, damit die Gleichung wahr ist (falls es solche gibt). Diese Werte heißen dann Lösungen der Gleichung.
Beispiel:
Wir wollen die Lösung(en) der Gleichung
bestimmen.
Um den unbekannten Minuenden zu finden, addieren wir die Differenz und den Subtrahenden:
Um \(x\) zu bestimmen, wird das Produkt (dh. die rechte Seite) durch den bekannten Faktor dividiert.
\(x=18:3\)
\(x=6\)
Beispiel:
Betrachten wir nun
.
Das ist die gleiche Gleichung wie im obigen Beispiel, jedoch umgeformt (eines der \(x\) wurde auf die rechte Seite gebracht). Man kann diese Gleichung aber auch auf eine andere Art lösen:
Wir haben eine Gleichheit von zwei Ausdrücken,also ist ihre Differenz null:
\((2x-12) - (6-x)=0\)
Lösen wir die Klammern auf und vereinfachen wir den Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung:
\(2x-12-6+x=0\)
\(3x-18=0\)
\(3x=18\)
\(x=6\)
Man kann also folgern:
Um eine Gleichung zu lösen, führt man schrittweise die folgenden Operationen durch:
1) die Summanden, die eine Variable enthalten, auf eine Seite der Gleichung bringen, die Summanden, die nur Zahlen beinhalten, auf die andere Seite. Bringt man Terme auf die andere Seite der Gleichung, muss das Vorzeichen umgekehrt werden;
2) gleichartige Summanden auf beiden Seiten der Gleichung zusammenfassen;
3) beide Seiten durch den Koeffizienten der gesuchten Variable dividieren.
Kann eine Gleichung in die Form \(ax=b\) umgewandelt werden, wobei , dann nennt man sie lineare Gleichung mit einer Unbekannten.