Faktorzerlegung — Theoretisches Material. Mathematik, 7. Schulstufe.

Ein Polynom in Faktoren zerlegen bedeutet, ein Polynom als Produkt von zwei oder mehreren Linearfaktoren darzustellen.
Linearfaktoren sind Faktoren, die (höchstens) linear in der Variablen sind, die also keine Quadrate oder höheren Potenzen enthalten.

Zum Beispiel ist

x^{2} + 14 x + 45

ein Polynom, das als Summe von Monomen dargestellt ist. Nach der Zerlegung in Faktoren sieht das Polynom so aus:
\(( x + 5 ) ( x + 9 )\), wobei \(x + 5\) und \(x + 9\) die Faktoren sind.

Beispiel:

Aufgabe. Man soll die Zahl \(36\) auf unterschiedliche Arten in zwei Faktoren zerlegen.
Lösung:

\begin{array}{l} 36 = 2 \cdot 18 \\ 36 = 3 \cdot 12 \\ 36 = 4 \cdot 9 \\ 36 = 6 \cdot 6 \\ 36 = 2 \cdot 2 \cdot 9 \\ 36 = 2 \cdot 3 \cdot 6 \\ 36 = 3 \cdot 3 \cdot 4 \\ 36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \end{array}

Um ein Polynom in Faktoren zu zerlegen, wendet man folgende Methoden an:

1. Herausheben eines gemeinsamen Faktors

Beispiel:

Aufgabe. Zerlege das Polynom \(7a – 7b\) in Faktoren.
Lösung: \(7a – 7b = 7(a – b)\)
Man hebt den gemeinsamen Faktor heraus und erhält das Produkt der zwei Linearfaktoren \(7\) und \(a-b\).

2. Anwenden der binomischen Formeln

Beispiel:

Aufgabe. Zerlege das Polynom in Faktoren.
Lösung:

9 x^{2} - 25 y^{2} = 3^{2} x^{2} - 5^{2} y^{2} = {(3x)}^{2} - {(5 y)}^{2} = (3x - 5 y) (3x + 5 y)

3. Das Gruppieren

Beispiel:

Aufgabe. Zerlege das Polynom in Faktoren.
Lösung:

35ab + 7a - 5b - 1 = (35ab - 5b) + (7a - 1) = 5b (7a - 1) + (7a - 1) = (7a - 1) (5b + 1)

Das Faktorisieren kann sehr hilfreich sein, z.B. beim Umformen von Termen, beim Kürzen von Brüchen, für das Lösen von Gleichungen und Ungleichungen usw.

Beispiel:

Aufgabe. Vereinfache den Term.
Lösung: