Kürzen von Brüchen — Theoretisches Material. Mathematik, 7. Schulstufe.

Ein algebraischer Bruch ist das Verhältnis zweier Polynome \(P\) und \(Q\), d.h.,

\frac{P}{Q}

, wobei \(P\) der Zähler und \(Q\) der Nenner des algebraischen Bruches ist.

Beispiele für algebraische Brüche sind etwa

\frac{7 z^{4}}{t}, \frac{a + b}{a - b}, \frac{18 a^{2} + 12ab - {2b}^{2}}{2 a^{2}}

Einen Bruch kürzen bedeutet, den Zähler und den Nenner des Bruches durch einen gemeinsamen Faktor, der jede beliebige Zahlen-Variablenkombination ungleich null sein kann, zu dividieren.

Wichtig!

Zuerst faktorisiert man den Zähler und den Nenner des Bruches.

Beispiel:

Aufgabe 1. Dividiere den Term

49 c^{3} d^{5}

durch

7c d^{2}

Lösung: Man schreibt

49 c^{3} d^{5} : 7c d^{2} = \frac{49 c^{3} d^{5}}{7c d^{2}}

Dann wird gekürzt:

\frac{49 c^{3} d^{5}}{7c d^{2}} = \frac{49}{7} \cdot \frac{c^{3}}{c} \cdot \frac{d^{5}}{d^{2}} = 7 c^{2} d^{3}

Aufgabe 2. Kürze den algebraischen Bruch:

\frac{{(x + 5)}^{2}}{3 x^{2} + 15 x} = \frac{{(x + 5)}^{2}}{3x (x + 5)} = \frac{(x + 5) \cdot (x + 5)}{3x \cdot (x + 5)} = \frac{x + 5}{3x}

- Im Nenner wird zuerst der gemeinsame Faktor \(3x\) herausgehoben;
- das Quadrat eines Binoms wird als das Produkt zweier gleicher Binome \(x+5\) dargestellt;
- der Bruch wird durch \(x+5\) gekürzt.

Aufgabe 3. Kürze den algebraischen Bruch:

\frac{1 - z^{2}}{1 - z^{3}} = \frac{(1 - z) \cdot (1 + z)}{(1 - z) \cdot (1 + z + z^{2})} = \frac{1 + z}{1 + z + z^{2}}

- Im Zähler wird die dritte binomische Formel verwendet, um das Binom als Produkt darzustellen;
- im Nenner wird die zweite binomische Formel dritten Grades verwendet;
- der Bruch wird durch \(1-z\) gekürzt.

Aufgabe 4. Kürze den algebraischen Bruch:

\frac{a^{3} {bc}^{3} - 2 a^{2} b^{2} c^{2} + {ab}^{3} c}{4 a^{3} c - 4 a^{2} b} = \frac{abc (a^{2} c^{2} - 2abc + b^{2})}{4 a^{2} (ac - b)} = \frac{bc {(ac - b)}^{2}}{4a (ac - b)} = \frac{bc (ac - b) (ac - b)}{4a (ac - b)} = \frac{bc (ac - b)}{4a}

- Im Zähler wird der gemeinsame Faktor \(abc\) herausgehoben. In den Klammern verwendet man die zweite binomische Formel;
- im Nenner wird der gemeinsame Faktor herausgehoben;
- der Bruch wird durch \(ac-b\) gekürzt.

Aufgabe 5. Berechne

\frac{36^{2} - 2 \cdot 36 \cdot 16 + 16^{2}}{36^{2} - 16^{2}} = \frac{{(36 - 16)}^{2}}{(36 - 16) (36 + 16)} = \frac{(36 - 16) (36 - 16)}{(36 - 16) (36 + 16)} = \frac{20}{52} = \frac{5}{13}

- Im Zähler wird die zweite, im Nenner die dritte binomische Formel verwendet;
- zuletzt wird durch \(4\) gekürzt.

Zum Thema zurückkehren

Nächste Aufgabe

Feedback senden

Hast du einen Fehler gefunden?

Schick uns dein Feedback!

1. Kürzen von Brüchen

Theorie: