Theorie:
Lot durch einen Punkt auf eine Gerade, Streckensymmetrale:
Ein Lot ist eine gerade Linie, die auf eine gegebene Gerade oder Ebene senkrecht steht. Der Schnittpunkt der Geraden/Ebenen mit dem Lot wird Lotfußpunkt genannt.
Hier ist die Strecke \(AC\) eine Lotstrecke, der Punkt \(C\) ist der Lotfußpunkt.
Das Lot durch einen Punkt ist eindeutig bestimmt, dh. durch einen Punkt, der nicht auf der Geraden/Ebene liegt, kann man nur ein Lot fällen.
Wir zeigen, dass dieses Lot eindeutig ist:
Wir nehmen an, dass der Winkel gegeben ist.
Wir zeichnen den Winkel an dem Strahl \(BC\) ein. Dann spiegeln wir den Winkel nach unten und erhalten so den Punkt \(A_1\). Dann gilt, dass die Seite \(BA\) gleich lang ist wie die Seite .
Also sind auch die Winkel und gleich groß.
Die Winkel und sind die Nebenwinkel, beide sind rechte Winkel.
Die Gerade steht senkrecht auf die Gerade \(BC\), die Strecke \(AC\) ist ein Lot, das durch den Punkt \(A\) auf die Gerade \(BC\) gefällt wird.
Angenommen durch den Punkt \(A\) könnte noch ein zweites Lot auf die Gerade \(BC\) gefällt werden. Es wäre senkrecht auf die Gerade \(BC\), würde aber die Strecke , die ebenfalls senkrecht auf \(BC\) steht, schneiden. Aber Geraden/Strecken, die auf selbe Geraden senkrecht stehen, sind parallel, d.h. sie können einander nicht schneiden. Also erhalten wir einen Widerspruch.
Das bedeutet, dass durch einen Punkt nur ein Lot auf eine Gerade gefällt werden kann.
Eine besondere Art von Lot ist das sogenannte Mittellot.
Das Mittellot (die Mittelsenkrechte, Streckensymmetrale) ist eine Gerade, die senkrecht auf der Verbindungsstrecke zweier Punkte steht und durch deren Mittelpunkt geht.
Ein Dreieck besitzt drei Streckensymmetralen, diese schneiden sich im sogenannten Umkreismittelpunkt des Dreiecks.
Seitenhalbierende, Winkelhalbierende und Höhen eines Dreiecks
Eine Seitenhalbierende (Schwerlinie, Median) eines Dreiecks ist eine Strecke, die aus einem Eckpunkt des Dreiecks zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verläuft.
Um eine Schwerlinie zu konstruieren, muss man:
1. den Mittelpunkt der Seite bestimmen;
2. den Mittelpunkt der Seite mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt verbinden. Diese Verbindungsstrecke ist die Schwerlinie.
Ein Dreieck hat drei Seiten, d.h. man kann drei Schwerlinien bilden.
Die Schwerlinien schneiden einander in einem Punkt, dem sogenannten Schwerpunkt.
Die Winkelhalbierende (Winkelsymmetrale) eines Winkels ist die Halbgerade, die durch den Scheitelpunkt des Winkels läuft und den Winkel in zwei gleich große (deckungsgleiche) Teile teilt.
Um die Winkelhalbierende zu bilden, muss man also den Winkel des Dreiecks mittels eines Strahls, der vom Scheitelpunkt ausgeht, halbieren.
Ein Dreieck hat drei Winkel, also auch drei Winkelsymmetralen.
Die Winkelsymmetralen schneiden einander in einem Punkt, dieser ist der Inkreismittelpunkt.
Die Höhe eines Dreiecks ist das Lot (bzw. dessen Länge), das von einer Ecke des Dreiecks auf die gegenüberliegenden Seite gefällt wird.
Ein Dreieck hat drei Höhen.
Die Höhen eines Dreiecks schneiden einander in einem Punkt, dem sogenannten Höhenschnittpunkt.
Ist das Dreieck stumpfwinklig, fallen die Höhen, die von Eckpunkten mit spitzen Winkeln ausgehen, außerhalb des Dreiecks auf die Verlängerungen der Seiten. Das heißt, der Höhenschnittpunkt liegt auch außerhalb des Dreiecks.
Wichtig!
Zieht man aus demselben Eckpunkt eine Seitensymmetrale, eine Winkelsymmetrale und eine Höhe, ist die Seitenhalbierende immer die längste Strecke und die Höhe die kürzeste Strecke.
Gleichschenkliges Dreieck
Hat ein Dreieck zwei gleich lange Seiten, nennt man es gleichschenklig.
In der Skizze sind \(AB = BC\) die Schenkel, \(AC\) ist die Basis.
Sind alle drei Seiten eines Dreiecks gleich lang, nennt man so ein Dreieck gleichseitig.
1. In gleichschenkligen Dreiecken sind die Basiswinkel gleich groß.
2. In gleichschenkligen Dreiecken ist die Winkelsymmetrale auf die Basis auch die Seitensymmetrale und die Höhe.
Diese Eigenschaften kann man mittels Kongruenz der Dreiecke beweisen, die entstehen, wenn man aus dem der Basis gegenüberliegenden Eckpunkt die Winkelhalbierende \(BD\) konstruiert.
Betrachten wir das gleichschenklige Dreieck \(ABC\) mit der Basis \(AC\). Es gilt, dass , also dass die zwei Dreiecke kongruent sind. Das folgt aus dem zweiten Kongruenzsatz: Es ist \(|AB| = |BC|\), da das Dreieck als gleichschenklig angenommen wird. Die Winkelhalbierende \(BD\) ist die gemeinsame Seite und es ist , da \(BD\) den Winkel \(\measuredangle ABC\) in zwei gleich große Teile aufteilt.
Um nun die ersten zwei Eigenschaften zu zeigen, beachten wir, dass die einander entsprechenden Elemente von kongruenten Dreiecken sind gleich, also gilt:
1. .
2. \(|AD| = |DC|\), dh., die Winkelhalbierende ist auch die Seitenhalbierende.
3. . Weiters gilt, da die Nebenwinkel, deren Summe beträgt, gleich groß sind, sind beide rechte Winkel, das heißt, die Seitenhalbierende ist auch die Höhe.
