Theorie:
Ähnlichkeit
Nicht nur Dreiecke können ähnlich sein. Wird jede Größe einer Figur (z.B. Seitenlänge, Winkel etc.) um den gleichen Faktor (das Ähnlichkeitsverhältnis) geändert, dann sind die ursprüngliche und die neue Figur ähnlich zueinander.
Zum Beispiel sind Karten des selben Geländes mit unterschiedlichen Maßstäben ähnlich. Ein Auto und sein Modell sind ebenfalls ähnliche Körper. Ein Model ist ähnlich dem Original, wenn die Größen im entsprechenden Verhältnis dargestellt werden.
Die folgenden geometrischen Figuren sind immer ähnlich:
alle Quadrate,
alle gleichseitigen Dreiecke,
alle Kreise.
Sie haben immer dieselbe Form - lediglich die Größe ist unterschiedlich.
Mittellinie eines Dreiecks
Die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte zweier Seiten eines Dreiecks wird Mittellinie genannt.
Die Mittellinie eines Dreiecks liegt parallel zu einer Seite des Dreiecks und ist halb so lang wie diese Seite.
In der obigen Abbildung ist daher
In jedem Dreieck gibt es drei Mittellinien.
Hier sind die Mittellinien \(DE\), \(EF\), \(DF\).
Wichtig!
Das gegebene Dreieck \(ABC\) und das Dreieck \(FDE\), das von den Mittellinien gebildet wird, sind ähnlich nach dem SSS-Satz.
Proportionale Strecken im rechtwinkligen Dreieck
Zeichnet man in einem rechtwinkligen Dreieck die Höhe zur Hypotenuse, erhält man drei ähnliche Dreiecke nach dem WW-Satz, weil und , also ist.
Anwendung der Ähnlichkeit
1. Die Bestimmung der Höhe eines messbaren Objektes.
Mithilfe der Länge \(AC\) analysiert man die Dreiecke \(ABC\) und und kann die Höhe \(A_1C_1\) messen.
2. Die Bestimmung des Abstands zu einem Punkt.
Man misst die Stecke \(AC\) und bestimmt die Winkel \(A\) und \(C\). Von Messungen im ähnlichen Dreieck kann man auf die entsprechenden Größen im Dreieck \(ABC\) schließen.