Theorie:
Merkmal für Parallelität:
Werden zwei Geraden von einer weiteren Geraden geschnitten, und sind die Wechselwinkel dieser Geraden gleich groß, sind diese Geraden parallel.
Das Parallelenaxiom:
Ein Axiom ist eine Aussage, die als wahr angenommen wird, und die man nicht beweisen muss.
In einer Ebene gibt es nur eine Gerade, die zu der gegebenen Geraden parallel ist und die durch einen beliebigen Punkt (der nicht auf der gegebenen Geraden liegt) verläuft.
Andere Eigenschaften von parallelen Geraden.
1. Ist eine der zwei parallelen Geraden parallel zu einer dritten Geraden, ist auch die zweite parallel zur dritten Geraden.
2. Wird eine der zwei parallelen Geraden von einer Geraden geschnitten, wird auch die zweite von dieser Geraden geschnitten.
Diese Eigenschaften müssen bewiesen werden.
Beweis von 1.:
Gegeben sind zwei parallele Geraden \(a\) und \(b\). Wenn die Gerade \(c\) parallel zu \(a\) ist, ist sie auch zu \(b\) parallel?
Angenommen es wäre möglich, dass die Gerade \(c\) parallel zu \(a\) ist, aber dass sie die andere Gerade \(b\) im Punkt \(K\) schneidet.
Man erhält einen Widerspruch zum Parallelenaxiom. Denn es ist nicht möglich, dass durch den Punkt zwei sich schneidende Geraden gehen, die parallel zu derselben Geraden \(a\) sind.
Beweis von 2.:
Funktioniert analog wie 1., man erhält wiederum einen Widerspruch zum Parallelenaxiom.
