Theorie:
Kreis
Der Kreis ist eine geometrische Figur, die aus der Menge aller Punkte einer Ebene besteht, die einen konstanten Abstand zu einem vorgegebenen Punkt dieser Ebene haben.
Diesen Punkt nennt man Mittelpunkt des Kreises und den konstanten Abstand nennt man seinen Radius.
Der Radius ist der Abstand zwischen dem Mittelpunkt eines Kreises und der Kreislinie. Man kann einen Radius aus dem Mittelpunkt eines Kreises zu jedem beliebigen Punkt der Kreislinie ziehen. Diese Radien sind gleich lang.
Eine Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten einer Kreislinie nennt man Sehne.
Läuft die Sehne durch den Mittelpunkt des Kreises, nennt man sie Durchmesser des Kreises.
Der Durchmesser ist die längste Sehne.
Man kann unendlich viele Durchmesser konstruieren.
Verbindet man zwei Punkte einer Kreislinie nicht mit einer Strecke sondern mit einer Kurve, die ein Teil der Kreislinie ist, nennt man die Verbindung einen Bogen.
Markiert man auf der Kreislinie zwei Punkte, erhält man zwei Bögen. Deshalb verwendet man für die Bezeichnung eines Bogens drei lateinische Buchstaben.
In der Zeichnung oben: der Bogen \(BDH\), der Bogen \(ACG\) u.a.
In der Zeichnung unten: der Bogen \(AxB\) und der Bogen \(AyB\).
Der Teil einer Ebene, der von einer Kreislinie begrenzt wird, nennt man Kreisfläche.
Aufgaben zur Konstruktion
In den Aufgaben zur Konstruktion verwendet man einen Zirkel und ein Lineal.
Das Lineal wird in diesen Aufgaben nicht als Messwerkzeug verwendet, sondern für das Zeichnen von Geraden, Strahlen oder Strecken durch zwei gegebene Punkte. Den Zirkel benötigt man für die Konstruktion eines Kreises oder eines Kreisbogens.
Grundschritte:
1. Auf einem gegebenen Strahl aus seinem Anfangspunkt eine Strecke von gegebener Länge zeichnen;
2. Die Konstruktion eines Winkels von gegebener Größe;
2. Die Konstruktion eines Winkels von gegebener Größe;
3. Die Konstruktion einer Winkelhalbierenden;
4. Die Konstruktion senkrechter Geraden;
5. Die Konstruktion des Mittelpunktes einer Strecke.
1. Auf einem gegebenen Strahl aus seinem Anfangspunkt eine Strecke einer bestimmte Länge zeichnen.
2. Die Konstruktion eines Winkels einer gegebenen Größe
Man zeichnet einen Kreis mit Mittelpunkt \(C\), der der Anfangspunkt des Strahles ist und der denselben Radius wie der Kreis mit Mittelpunkt \(O\) hat: \(CD\)\(=\)\(OB\).
Man bildet einen Kreis mit Mittelpunkt \(D\) und mit einem Radius, der gleich lang wie die Strecke \(BA\) ist. Der Schnittpunkt beider Kreise ist der Punkt \(E\), mit \(BA\)\(=\)\(DE\).
Man zeichnet den Strahl \(CE\). Dann ist \(OA\)\(=\)\(CE\).
Das bedeutet, dass die Dreiecke \(AOB\) und \(ECD\) kongruent sind nach dem ersten Kongruenzsatz. Ihre Winkel sind gleich groß, also auch die Winkel \(ECD\) und \(AOB\).
3. Die Konstruktion einer Winkelhalbierenden
Um zu überprüfen, ob der Strahl \(OC\) den Winkel \(AOB\) wirklich in zwei Hälften teilt, reicht es, die Dreiecke \(AOC\) und \(BOC\) zu analysieren.
Es ist \(OA = OB\), weil sie Radien des Kreises sind. Weiters ist \(AC = BC\), weil beide Kreise denselben Radius haben. \(OC\) ist die gemeinsame Seite. Diese Dreiecke sind kongruent nach dem ersten Kongruenzsatz. Also sind die entsprechenden Winkel gleich groß.
Das bedeutet, dass \(AOC\) und \(BOC\) zwei gleich große Teile eines Winkels sind, d.h., der Strahl \(OC\) teilt den Winkel in zwei Hälften.
4. Die Konstruktion senkrechter Geraden, insbesondere Streckensymmetralen
Es ist \(AB = AC\), weil die Punkte in der Konstruktion den gleichen Abstand vom Mittelpunkt haben. Es ist auch \(BD = CD\), weil die beiden Kreise den gleichen Radius besitzen.
Das bedeutet, dass \(DA\) (oder \(EA\)) die Seitensymmetrale der Basis des gleichschenkligen Dreiecks \(ADB\) (oder \(AEB\)) ist. Die Seitensymmetrale in einem gleichschenkligen Dreieck ist zugleich auch die Höhe, d.h., sie steht senkrecht auf die Basis.
5. Die Konstruktion des Mittelpunktes einer Strecke
Diese Konstruktion entspricht der Konstruktion von Seitensymmetralen.