Theorie:
Wenn eine Gleichung genau eine Variable enthält, nennt man diese eine Gleichung mit einer Variablen.
Als Lösung der Gleichung bezeichnet man den Wert der Variablen, bei dem die Gleichung zu einer wahren Aussage wird.
Beispiel:
Finde die Lösung(en) der Gleichung.
Deshalb hat die gegebene Gleichung nur die Lösung \(x = 2\), denn \(x = -2\) gehört nicht zum Definitionsgebiet.
Lineare Gleichungen
Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, in der die Variable nur linear vorkommt. Sie lässt sich immer auf die Form \(ax + b = 0\) bringen, wobei \(a\) und \(b\) Zahlen sind.
| Lösungsschritte | Beispiel |
1. \(ax+b=0\) \(ax = -b\) | \(6x - 24 = 0\) \(6x = 24\) |
2. |
Anzahl der Lösungen von linearen Gleichungen.
Wenn \(a\) nicht \(0\) ist, hat die Gleichung genau eine Lösung.
Zum Beispiel für \(2x-4=0\) ist \(x=2\) die Lösung der Gleichung
Für \(a=0\) ist die Gleichung (streng genommen) keine lineare Gleichung mehr, da sie keine Variable mehr enthält. In diesem Fall gibt es entweder garkeine oder unendlich viele Lösungen:
Wenn \(a = 0\) und \(b\neq 0\), dann hat die Gleichung keine Lösung.
Zum Beispiel gibt es keinen Wert \(x\), der die Gleichung \(0x=3\) löst.
Wenn \(a = 0\) und \(b = 0\), dann ist jede beliebige Zahl eine Lösung der Gleichung.