Theorie:
Ein mathematisches Modell aufzustellen bedeutet, die passende Gleichung, Ungleichung oder Formel zu erstellen, um einen gegebenen Zusammenhang zu beschreiben bzw. eine Aufgabe zu lösen.
Beispiel:
Die Klasse \(7A\) besuchen \(15\) Mädchen und \(13\) Jungen, die \(7B\) \(12\) Mädchen und \(12\) Jungen,
in der Klasse \(7C\) gibt es \(9\) Mädchen und \(18\) Jungen.
Wir können uns jetzt die Frage stellen, wie Leute es in jeder der siebten Klassen insgesamt gibt. Dazu addieren wir drei Mal:
in der Klasse \(7A\): ;
in der Klasse \(7B\): ;
in der Klasse \(7C\): .
Man kann alle drei Situationen mit einer Formel beschreiben: wenn die Klasse \(a\) Mädchen und \(b\) Jungen besuchen, dann gibt es insgesamt \(a + b\) Personen in der Klasse.
In der Tabelle werden Situationen beschrieben und das passende mathematische Modell dargestellt. Es bezeichnet \(a\) die Anzahl der Mädchen in der Klasse, \(b\) die Anzahl von Jungen in derselben Klasse.
| alltägliche Situation | mathematisches Modell | |
| 1 | Die Klasse besuchen gleich viele Mädchen und Jungen | \(a = b\) |
| 2 | Die Anzahl der Mädchen ist um \(2\) größer als die Anzahl der Jungen. | \(a – b = 2\) oder \(a = b + 2\) oder \(a – 2 = b\) |
| 3 | Die Anzahl der Mädchen ist um \(9\) kleiner als die Anzahl der Jungen. | \(b – a = 9\) oder \(b = a + 9\) oder \(a = b - 9\) |
Beispiel:
In einer Klasse ist die Anzahl von Mädchen zwei mal größer als die Anzahl von Jungen. Wenn aus der Klasse drei Mädchen weggehen und statt ihnen drei Jungen dazukommen, dann besuchen um \(4\) mehr Mädchen als Jungen diese Klasse. Wie groß ist diese Klasse?
Lösung:
Nehmen wir an, dass \(x\) die Anzahl von Jungen in der Klasse ist, dann ist \(2x\) die Anzahl der Mädchen. Wenn drei Mädchen weggehen, dann bleiben \((2x-3)\) Mädchen übrig. Wenn drei Jungen dazukommen, dann ist die Anzahl der Jungen \((x+3)\). Laut Angabe ist die Anzahl der Mädchen um \(4\) größer als die der Jungen. Die passende Gleichung ist:
Wir erhalten
Es besuchen also \(10\) Jungen die Klasse, also ist die Anzahl der Mädchen \(20\). Insgesamt ergibt das \(30\) Personen.
Erster Schritt. Das Aufstellen des mathematischen Modells, der Text wird als Formel dargestellt, d.h. es wird das mathematische Modell der Aufgabe als die Gleichung aufgestellt.
Zweiter Schritt. Die Arbeit mit dem mathematischen Modell, dabei wird die Gleichung gelöst.
Dritter Schritt. Beantworten der Frage der Aufgabe.
Beantworten wir die Frage der Aufgabe, indem wir das Ergebnis des zweiten Schritts benutzen.
Ein mathematische Modell wie im obigen Beispiel nennt man algebraisches Modell.
Wir wollen jetzt die folgende Tabelle grafisch analysieren:
| Zeit, \(h\) | \(0\) | \(2\) | \(4\) | \(6\) | \(8\) | \(10\) | \(11\) | \(14\) | \(16\) | \(18\) | \(22\) | \(24\) |
| Temperatur, \(°C\) | \(5\) | \(0\) | \(0\) | \(-3\) | \(-4\) | \(-2\) | \(0\) | \(6\) | \(8\) | \(5\) | \(3\) | \(3\) |
Wir zeichnen in einem Koordinatensystem auf der \(x\)-Achse die Zeitwerte ein und auf der \(y\)-Achse die Temperaturwerte. Wir zeichnen in der Koordinatenebene die Punkte ein, deren Koordinaten die entsprechenden Zahlen aus der Tabelle sind. So ergeben sich insgesamt \(12\) Punkte.
Wenn wir die eingezeichneten Punkte mit einer Kurve verbinden, erhalten wir einen Graphen der Temperatur.
Dieser Graph ist ein mathematisches Modell, das die Zuordnung von der Temperatur zur Zeit veranschaulicht.
Ein solches mathematische Modell nennt man grafisches Modell.
Es gibt folgende Arten mathematischer Modelle:
1) man beschreibt die Situation in Worten
2) Gleichungen mit Variablen werden verwendet (algebraisches Modell)
3) Graphen der Zuordnung von Variablen (grafisches Modell)