Theorie:
Wir haben zuletzt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion \(p(x)\) kennengelernt und ein Beispiel dazu gesehen. Natürlich werden verschiedene Situationen durch unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsdichten beschrieben. Wir können uns also fragen: Was macht eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus?
Aus logischen Gründen gelten hier besonders folgende Einschränkungen:
Für jede Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion \(p(x)\) muss gelten:
- \(p(x) \geq 0 \forall x\) (Positivität)
Hätte die Funktion auch negative Werte, könnte das zu negativen Wahrscheinlichkeiten führen, die natürlich nicht sinnvoll sind. - \(\int_{-\infty}{\infty} p(x) dx = 1\) (Normierung)
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable \(x\) irgendeinen Wert annimmt, muss eins sein (die Größe muss irgendeinen Wert haben).
Jede Funktion, die diese beiden Bedingungen erfüllt, kann im Prinzip als Wahrscheinlichkeitsdichte benutzt werden.
Wie bereits im vorigen Abschnitt erwähnt, lässt sich die zugehörige Wahrscheinlichkeit \(P(a; b)\), dass die Zufallsvariable einen Wert im Intervall \((a; b)\) annimmt, berechnen mit
\(P(a; b) = \int_{a}^{b} p(x) dx\).
In vielen Fällen lässt sich dieses Integral natürlich auch einfacher Ausrechnen.
Betrachten wir nocheinmal das Beispiel aus dem vorigen Abschnitt:
Betrachten wir nocheinmal das Beispiel aus dem vorigen Abschnitt:
Beispiel:
Da diese Funktion stückweise konstant ist, kann man hier das Integral durch eine Multiplikation ausdrücken, z.B.
\(P(-2; 0) = \int_{-2}^0 p(x) dx = \int_{-2}^{-0,5} 0 dx + \int_{0,5}^0 1 dx = 0,5 \cdot 1 = 0,5\).
Wir sehen, dass der Bereich, wo die Wahrscheinlichkeitsdichte null ist, keine Rolle spielt.
Untersuchen wir nun noch, ob diese Funktion wirklich eine geeignete Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist.
1) Positivität: Die Funktion nimmt nur die Werte \(0\) und \(1\) an, hat also keine negativen Werte.
2) Normierung:
\(\int_{-\infty}^{\infty} p(x) dx = \int_{-\infty}^{-0,5} 0 dx + \int_{-0,5}^{0,5} 1 dx + \int_{0,5}^{\infty} 0 dx = 0 + 1\cdot 1 + 0 = 1\)
Beide Kriterien werden erfüllt - es handelt sich also tatsächlich um eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.