3. Standardnormalverteilung

Wir haben zuletzt festgestellt, dass das Integral

\[\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx\]

das zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten der Normalverteilung erforderlich ist, mit unseren Methoden nicht berechnet werden kann.

 

Um dennoch Wahrscheinlichkeiten bestimmen zu können, kann man auf Tabellen zurückgreifen, in denen die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten aufgetragen sind (nachdem sie mit aufwändigen Methoden bestimmt wurden). Damit man aber nicht für jeden beliebigen Wert \(\mu\) und \(\sigma\) eine eigene Tabelle benötigt, benutzt man eine einzige repräsentative Version der Normalverteilung, aus deren Daten sich auf andere Normalverteilungen (mit anderen Mittelwerten und Standardabweichungen) umrechnen lässt.

 

 

Wir wissen bereits aus dem vorigen Abschnitt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert ein gewisses vielfaches der Standardabweichung vom Mittelwert entfernt ist, nicht von \(\mu\) und \(\sigma\) abhängt. Das gleiche gilt auch für andere Werte. Das bedeutet:

 

Das wird verständlich, wenn wir diesen Ausdruck für \(x\) in den Funktionsterm der Normalverteilung einsetzen:

Wir sehen, dass sich die Parameter aus der Exponentialfunktion vollständig herausgekürzt haben. Wir haben also die Standardnormalverteilung erhalten.

 

Um also Wahrscheinlichkeiten einer gegebenen Normalverteilung zu bestimmen, können wir den entsprechenden \(x\)-Wert (also die Grenze des jeweiligen Intervalls) in einen \(z\)-Wert der Standardnormalverteilung umrechnen und die passende Wahrscheinlichkeit in der Tabelle nachschlagen. Eine solche Tabelle ist im folgenden Abschnitt zu finden.

 

Lösungsschema für typische Rechenaufgaben mit Normalverteilungen