Theorie:
Wenden wir unser erworbenes Wissen über Normalverteilungen und die Standardnormalverteilung an einem Beispiel an.
Beispiel:
Die Lebensdauer einer bestimmten Art von Lampe beträgt \(10 000 \pm 1 000\) Stunden und ist normalverteilt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine solche Lampe
a) kürzer als \(8 000\) Stunden
b) mindestens \(10 000\) Stunden
c) zwischen \(9900\) und \(1100\) Stunden leuchtet?
Aus der Angabe entnehmen wir den Mittelwert und die Standardabweichung der Normalverteilung:
\(\mu = 10 000\) und \(\sigma = 1 000 \).
Für jedes der Unterbeispiele berechnen wir eigene \(z\)-Werte der Standardnormalverteilung.
a) Hier ist \(x = 8 000\), wir erhalten also
\(z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{8 000 - 10 000}{1 000} = -2\)
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert unterhalb dieser Grenze liegt, ist \(\Phi(z)\). Da der Wert negativ ist, und in unserer Tabelle nur positive Werte aufgeführt sind, benutzen wir die Symmetrie der Normalverteilung:
\(\Phi(-2\) = 1 - \Phi(2)\)
\(\Phi(2)\) können wir in der Tabelle nachschlagen. Wir erhalten damit:
\(\Phi(-2) = 1 - 0,97725 = 0,02275 = 2,275 \%\).
Das ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
b) Hier ist \(x = 10 000\), das ist genau der Mittelwert, entspricht also \(z = 0\) (natürlich könnten wir das auch einfach ausrechnen, falls es uns nicht aufgefallen wäre) und somit einer Wahrscheinlichkeit von genau \(50 \%\) (die wir auch in der Tabelle finden könnten).
c) Hier haben wir zwei \(x\)-Werte, die zwei \(z\)-Werten entsprechen:
\(x_1 = 9 900 \rightarrow z_1 = \frac{9900 - 10000}{1000} = -0,1\) und
\(x_2 = 10100 \rightarrow z_2 = \frac{10100 - 10000}{1000} = 0,1\).
Wir haben also zwei entgegengesetzte Werte \(z\) und \(-z\), d.h. die Wahrscheinlichkeit ist \(2 \Phi(z) - 1\), wobei \(z\) der positive der beiden Werte ist. Wir schlagen also \(\Phi(0,1) = 0,53983\) nach und erhalten
\(2 \Phi(z) - 1 = 0,07966 = 7,966 \%\)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine solche Lampe
a) kürzer als \(8 000\) Stunden
b) mindestens \(10 000\) Stunden
c) zwischen \(9900\) und \(1100\) Stunden leuchtet?
Aus der Angabe entnehmen wir den Mittelwert und die Standardabweichung der Normalverteilung:
\(\mu = 10 000\) und \(\sigma = 1 000 \).
Für jedes der Unterbeispiele berechnen wir eigene \(z\)-Werte der Standardnormalverteilung.
a) Hier ist \(x = 8 000\), wir erhalten also
\(z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{8 000 - 10 000}{1 000} = -2\)
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert unterhalb dieser Grenze liegt, ist \(\Phi(z)\). Da der Wert negativ ist, und in unserer Tabelle nur positive Werte aufgeführt sind, benutzen wir die Symmetrie der Normalverteilung:
\(\Phi(-2\) = 1 - \Phi(2)\)
\(\Phi(2)\) können wir in der Tabelle nachschlagen. Wir erhalten damit:
\(\Phi(-2) = 1 - 0,97725 = 0,02275 = 2,275 \%\).
Das ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
b) Hier ist \(x = 10 000\), das ist genau der Mittelwert, entspricht also \(z = 0\) (natürlich könnten wir das auch einfach ausrechnen, falls es uns nicht aufgefallen wäre) und somit einer Wahrscheinlichkeit von genau \(50 \%\) (die wir auch in der Tabelle finden könnten).
c) Hier haben wir zwei \(x\)-Werte, die zwei \(z\)-Werten entsprechen:
\(x_1 = 9 900 \rightarrow z_1 = \frac{9900 - 10000}{1000} = -0,1\) und
\(x_2 = 10100 \rightarrow z_2 = \frac{10100 - 10000}{1000} = 0,1\).
Wir haben also zwei entgegengesetzte Werte \(z\) und \(-z\), d.h. die Wahrscheinlichkeit ist \(2 \Phi(z) - 1\), wobei \(z\) der positive der beiden Werte ist. Wir schlagen also \(\Phi(0,1) = 0,53983\) nach und erhalten
\(2 \Phi(z) - 1 = 0,07966 = 7,966 \%\)