Theorie:
Mit Hilfe der Integralrechnung lassen sich nicht nur Flächen, die von Kurven begrenzt sind, berechnen, sondern auch Volumina von Körpern. Besonders einfach ist hierbei die Volumsberechnung von sogenannten Drehkörpern oder Rotationskörpern. Ein Drehkörper entsteht - einfach ausgedrückt - durch die Rotation einer Kurve um die \(x\)-Achse.
Legt man ein Intervall \([a, b]\) fest, und sei \(f:[a,b]\to (0, \infty)\) eine Funktion von diesem Intervall in die nicht-negativen reellen Zahlen. Nun stelle man sich die von \(y=f(x)\) beschriebene Kurve in der \(xy\)-Ebene vor. Anschließend rotiere man diese Kurve (im dreidimensionalen Raum) um die \(x\)-Achse, die Kurve erzeugt damit eine rotationssymmetrische Fläche. Der von dieser Fläche, sowie den Ebenen \(x=a\) und \(x=b\) vollständig eingeschlossene Bereich heißt der von \(f\) erzeugte Drehkörper.
Rot ist die in der \(xy\)-Ebene liegende, durch \(f(x)\) beschriebene Kurve. Durch ihre Rotation um die \(x\)-Achse entsteht die blaue Drehfläche. Der von der blauen Fläche eingeschlossene Bereich ist der von \(f(x)\) erzeugte Drehkörper.
Wichtig!
Bei einem Drehkörper ist jeder Querschnitt, der senkrecht auf die Rotationsachse steht, ein Kreis.
Auf einer Töpferscheibe entstehen immer Drehkörper.
Wie berechnet man nun das Volumen eines Drehkörpers? Für Interessierte geben wir hier eine schematische Herleitung an, alle anderen können diesen Teil bis zur nächsten Theoriebox weiter unten überspringen.
Teilen wir das \(x\)-Intervall \([a,b]\) gleichmäßig in Abschnitte der Länge \(\Delta x\) auf, dazu setzen wir \(x_0:= a\), \(x_1=x_0+\Delta x\), \(x_2=x_1+\Delta x\), usw., bis wir für ein \(N\in\mathbb N\) schließlich bei \(x_N=b\) ankommen (nehmen wir an, dass \(\Delta x\) genau so ist, dass sich das ausgeht). Diese Unterteilung verwenden wir nun, um das Volumen des Drehkörpers anzunähern. Dazu "zerschneiden" wir den Drehkörper in Scheiben, und zwar führen wir die "Schnitte" genau an den Stellen \(x_i\) durch. Ist \(V_i\) das Volumen der Scheibe des Drehkörpers zwischen \(x_{i-1}\) und \(x_i\), so können wir das Volumen des Drehkörpers schreiben als die Summe
\(\displaystyle V=V_1+V_2+\cdots+V_N = \sum_{i=1}^N V_i\).
Näherungsweise Zerlegung des Drehkörpers in zylindrische Scheibchen (grün).
Doch die einzelnen \(V_i\) kennen wir nun auch nicht. Doch \(V_i\) kann man jeweils näherungsweise berechnen. Die entsprechende Scheibe des Drehkörpers hat ungefähr das gleiche Volumen wie ein zylindrisches Scheibchens gleicher Dicke (also \(\Delta x\)). Der Radius dieses Zylinders kann zum Beispiel als \(f(x_i)\) gewählt werden. Das Volumen des zylindrischen Scheibchens ist somit \(\tilde V_i = (f(x_i))^2\cdot \pi \cdot \Delta x\) (Formel für Zylindervolumina). Ersetzen wir nun alle \(V_i\) durch das entsprechende \(\tilde V_i\), so erhalten wir näherungsweise
\(\displaystyle V\approx \tilde V_1+\tilde V_2+\cdots + \tilde V_N = \pi\cdot \Delta x\cdot \big ( (f(x_1))^2+ (f(x_2))^2+\cdots + (f(x_N))^2\big) = \pi\cdot \sum_{i=1}^N (f(x_i))^2\cdot \Delta x\).
Doch diese Summe können wir nun als Riemann-Summe auffassen! Erinnern wir uns, dass (für Riemann-integrierbare Funktionen) folgendes gilt:
\(\displaystyle \int_a^b f(x)\,d x\approx \sum_{i=1}^N f(x_i)\cdot \Delta x\).
Je kleiner \(\Delta x\) gewählt wird, desto genauer stimmt die Riemann-Summe mit dem Integral überein. In unserem Fall wird aber nicht \(f\), sondern \(f^2\cdot \pi\) integriert. Also konvergiert (für \(\Delta x\to 0\)) die weiter oben hergeleitete Näherungsformel für \(V\) gegen das Integral
\(\displaystyle \pi\cdot \int_a^b (f(x))^2\,dx\).
Zugleich wird der Fehler, den wir beim Ersetzen der \(V_i\) durch die \(\tilde V_i\) gemacht haben, immer kleiner, wenn \(\Delta x\to 0\) geht (d.h. wir zerschneiden den Drehkörper in immer feinere Scheibchen). Also gilt tatsächlich
\(\displaystyle V=\pi\cdot \int_a^b (f(x))^2\,dx\).
Das Volumen eines Drehkörpers, der durch Rotation von \(f(x)\) um die \(x\)-Achse zwischen den Ebenen \(x=a\) und \(x=b\) erzeugt wird, ist gleich
\(\displaystyle V=\pi\cdot \int_a^b (f(x))^2\,dx\).