Die Kugel und ihre Schnitte — Theoretisches Material. Mathematik, 11. Schulstufe.

Kugel und Sphäre

Eine Kugelfläche ist die Menge aller Punkte im Raum, die von einem gegebenen Punkt (dem Mittelpunkt) gleich weit entfernt liegen.

Auf der Zeichnung sieht man, dass alle Punkte gleich entfernt vom Punkt \(C\) liegen; der Radius \(CA\) verbindet den Mittelpunkt mit dem Punkt auf der Kugelfläche.

Alle Abstände vom Mittelpunkt zu einem beliebigen Punkt auf der Kugelfläche sind gleich groß und sind gleich dem Radius. Durch Anwendung der Formel zur Bestimmung des Abstands zwischen Punkten mit gegebenen Koordinaten, kann man eine Gleichung für die Kugelfläche erstellen:

\begin{array}{l} AC = \sqrt{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} + {(z - z_{0})}^{2}} = R \\ {AC}^{2} = {(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} + {(z - z_{0})}^{2} = R^{2} \end{array}

{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} + {(z - z_{0})}^{2} = R^{2}

Eine Kugel ist ein Körper, der von einer Kugelfläche begrenzt ist.

Man bekommt eine Kugel durch die Rotation eines Halbkreises (oder eines Kreises) um seinen Durchmesser. Alle Schnittflächen der Kugel sind Kreise. Der größte Schnittkreis geht durch den Mittelpunkt der Kugel und wird Äquator genannt. Sein Radius ist gleich dem Radius der Kugel.

Jeder beliebige Schnitt einer Kugel mit einer Ebene ist ein Kreis (oder ein Punkt, wenn die Ebene die Kugel berührt).

Bei der Lösung ist es bequemer anstatt der Kugel einen der großen Schnittkreise zu zeichnen, und die Schnittfläche durch die Sehne dieses Kreises zu ersetzen.