Kreisgleichung — Theoretisches Material. Mathematik, 11. Schulstufe.

Die Gleichung

${(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} = R^{2}$ beschreibt den Kreis mit dem Mittelpunkt

$(x_{0}; y_{0})$ und mit dem Radius

$R$ .

Die vektorielle Form dieser Gleichung ist

$|\vec{r} - \vec{r_{0}}| = R$ , wobei

$\vec{r}$ der Ortsvektor eines Punktes des Kreises,

$\vec{r_{0}}$ der Ortsvektor des Mittelpunktes des Kreises, und

$R$ der Radius ist.

Herleitung:

Man bestimmt alle Punkte

$(x; y)$ , die im Abstand

$R$ vom Mittelpunkt

$(x_{0}; y_{0})$ liegen (das ist schließlich die Definition der Kreislinie).

Aus der Formel für die Berechnung des Abstands zwischen zwei Punkten bekommt man für all diese Punkte

$\sqrt{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}} = R$ .

Durch Quadrieren der Gleichung bekommt man die Kreisgleichung in ihrer typischen Form (ohne Wurzel).

Die vektorielle Form bekommt man folgendermaßen:

Ist der Ortsvektor eines beliebigen Punktes des Kreises

$\vec{r}$ und der Ortsvektor des Mittelpunktes ist

$\vec{r_{0}}$ , dann ist der Vektor vom Mittelpunkt zum gegebenen Punkt gleich

$\vec{r} - \vec{r_{0}}$ . Der Abstand ist gleich

$R$ , d.h. die Länge oder der Betrag dieses Vektors ist gleich

$R$ :

$|\vec{r} - \vec{r_{0}}| = R$ .

Wichtig!

Liegt der Mittelpunkt des Kreises im Koordinatenursprung, sind die Koordinaten des Mittelpunktes

$(0; 0)$ und sein Ortsvektor

$\vec{r_{0}} = \vec{0}$ . Die entsprechenden Gleichungen des Kreises sind

$x^{2} + y^{2} = R^{2}$ und

$|\vec{r}| = R$ .

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