Theorie:
1. Untersuchung des Verhaltens der Funktion: konvex und konkav
Die Funktion ist konvex, wenn ihr Graph unterhalb jeder Verbindungsstrecke zweier seiner Punkte liegt.
Die Funktion ist konkav, wenn ihr Graph oberhalb jeder Verbindungsstrecke zweier seiner Punkte liegt.
Besitzt die Funktion \(f(x)\) im Intervall \((a,b)\) eine zweite Ableitung und ist () in allen Punkten des Intervalls \((a,b)\), ist der Funktionsgraph \(f(x)\) konvex (bzw. konkav).
Beispiel:
Bestimme das Verhalten der Funktion .
Die zweite Ableitung der Funktion ist . Sie ist negativ, wenn \(x<0\) und positiv für \(x>0\).
Also ist der Funktionsgraph \(f(x)\) konkav im Intervall und konvex im Intervall .
2. Bestimmung der Wendepunkte der Funktion
Um die Wendepunkte der Funktion \(f(x)\) zu bestimmen, muss man die Punkte finden, in denen die zweite Ableitung den Wert null annimmt oder existiert gar nicht (und die im Definitionsbereich der Funktion liegen). Dann kann man das Vorzeichen der zweiten Ableitung auf den bestimmten Intervallen bestimmen, indem man die Werte der zweiten Ableitung in einem beliebigen Punkt des Intervalls berechnet.
Wechselt die zweite Ableitung ihr Vorzeichen im Punkt, ist der Punkt ein Wendepunkt, wechselt sie ihr Vorzeichen nicht, so ist er kein Wendepunkt.
Beispiel:
Man betrachtet die Funktion .
Die zweite Ableitung der Funktion ist . Sie ist negativ, wenn \(x<0\) und positiv, wenn \(x>0\). Also wechselt die zweite Ableitung ihr Vorzeichen im Punkt \(x=0\), dieser Punkt ist ein Wendepunkt der Funktion.
