Unbestimmte Ausdrücke mit Potenzen — Theoretisches Material. Mathematik, 11. Schulstufe.

Aufgabe: Finde den Grenzwert

\lim_{x \to a} {g (x)}^{h (x)}

Hier gibt es 3 mögliche Situationen:

1. die Funktionen

g (x)

und

h (x)

streben gegen null, wir erhalten den unbestimmten Ausdruck

0^{0}

;

2. die Funktion

g (x)

strebt gegen unendlich, die Funktion

h (x)

strebt gegen null, das ergibt den unbestimmten Ausdruck

\infty^{0}

;

3. die Funktion

g (x)

strebt gegen eins, die Funktion

h (x)

strebt gegen unendlich, der unbestimmte Ausdruck ist

1^{\infty}

Hier kann man die Umformung

{\lim_{x \to a} g (x)}^{h (x)} = e^{\lim_{x \to a} (h (x) \cdot \ln g (x))}

anwenden, den Grenzwert im Exponenten bestimmen (der unbestimmte Ausdruck

0 \cdot \infty

) und dann potenzieren.

Beispiel:

1. Der unbestimmte Ausdruck

0^{0}

\begin{array}{l} \lim_{x \to + 0} x^{x} = e^{\lim_{x \to + 0} (x \ln x)} = ... \\ \lim_{x \to + 0} x \ln x = \lim_{x \to + 0} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = (\frac{0}{0}) = \lim_{x \to + 0} \frac{(\ln x)'}{{(\frac{1}{x})}^{'}} = \\ = \lim_{x \to + 0} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}} = \lim_{x \to + 0} - x = 0 \\ \lim_{x \to + 0} x^{x} = e^{\lim_{x \to + 0} (x \ln x)} = e^{0} = 1 \end{array}

2. Der unbestimmte Ausdruck

1^{\infty}

\begin{array}{l} \lim_{x \to 0} {(1 + x)}^{\frac{1}{x - \sin x}} = e^{\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x - \sin x}} = ... \\ \lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x - \sin x} = (\frac{0}{0}) = \lim_{x \to 0} \frac{(\ln (1 + x))'}{(x - \sin x)'} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x}}{1 - \cos x} = (\frac{1}{+ 0}) = + \infty \\ \lim_{x \to 0} {(1 + x)}^{\frac{1}{x - \sin x}} = (e^{+ \infty}) = + \infty \end{array}

3. Der unbestimmte Ausdruck

\infty^{0}

\begin{array}{l} \lim_{x \to + 0} {(- \ln x)}^{x} = e^{\lim_{x \to + 0} (x \ln (- \ln x))} = ... \\ \lim_{x \to + 0} (x \ln (- \ln x)) = \lim_{x \to + 0} \frac{\ln (- \ln x)}{\frac{1}{x}} = (\frac{0}{0}) = \lim_{x \to + 0} \frac{(\ln (- \ln x))'}{{(\frac{1}{x})}^{'}} = \\ = \lim_{x \to + 0} \frac{\frac{1}{- \ln x} \cdot (- \frac{1}{x})}{- \frac{1}{x^{2}}} = \lim_{x \to + 0} (- \frac{x}{\ln x}) = - \lim_{x \to + 0} \frac{x}{\ln x} = (\frac{0}{0}) = \\ = - \lim_{x \to + 0} \frac{x'}{(\ln x)'} = - \lim_{x \to + 0} \frac{1}{\frac{1}{x}} = - \lim_{x \to + 0} x = 0 \\ \lim_{x \to + 0} {(- \ln x)}^{x} = e^{0} = 1 \end{array}

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7. Unbestimmte Ausdrücke mit Potenzen