Extremwertaufgaben — Theoretisches Material. Mathematik, 11. Schulstufe.

Bei Optimierungsaufgaben geht es darum, dass eine Zielfunktion minimiert oder maximiert wird. Optimierungsprobleme stellen sich in der Wirtschaftsmathematik, Statistik, Operations Research und generell in allen wissenschaftlichen Disziplinen, in denen mit unbekannten Parametern gearbeitet wird, wie beispielsweise in der Physik, der Chemie sowie der Meteorologie. Häufig ist eine analytische Lösung von Optimierungsproblemen nicht möglich und es müssen numerische Verfahren eingesetzt werden.

Man löst Optimierungsaufgaben nach einem Schema, das aus drei Schritten besteht:

1. Aufstellen der Gleichung;

2. Lösen der Gleichung;

3. Beantwortung der Frage.

Erster Schritt: Aufstellen der Gleichung.

Man analysiert zunächst die Aufgabe und gibt den Ausgangsgrößen und Unbekannten passende Namen ($a$, $x$, $q$, $A$, $F$, $V$ usw).
Die Zielfunktion soll erkannt werden und als mathematische Funktion in Abhängigkeit von den Ausgangsgrößen und Unbekannten formuliert werden

Zweiter Schritt: Arbeit mit der Gleichung.

Man findet für die Funktion $y=f(x)$, $x \in X$ die Extremwerte $y_{\min}$ oder $y_{\max}$ , je nach Angabe.

Dritter Schritt. Beantwortung der Frage.

Die Ergebnisse des zweiten Schritts werden verwendet.

Beispiel:

Die Festigkeit des rechtwinkligen Querschnitts eines Trägers ist proportional zum Produkt seiner Breite und der quadrierten Höhe. Welchen Querschnitt muss der Träger besitzen, der aus einem zylinderförmigen Holzstamm mit dem Radius $R$ gebaut wird, damit seine Festigkeit maximal ist?

Lösung. .

1. Die Optimierungsgröße ist die Festigkeit des Trägers, da bestimmt werden soll, wann die Festigkeit des Trägers maximal wird. Man bezeichnet sie mit dem Buchstaben $y$.

2. Die Festigkeit hängt von der Breite und Höhe des Rechtecks ab, das ein Achsenschnitt des Trägers ist. Man nimmt die Breite des Trägers als unabhängige Variable an und bezeichnet sie mit dem Buchstaben $x$. Da der Achsenschnitt das eingeschriebene Rechteck ist (siehe Abb.), ist $0 < x < 2R$, das sind die Grenzen der der unabhängigen Variable.

3. Die Höhe $h$ des Rechtecks ist mit der Breite durch das Verhältnis $x^{2} + h^{2} = 4 R^{2}$ (laut $dem Satz von Pythagoras$) verbunden. Also ist $h^{2} = 4 R^{2} - x^{2}$ .

Die Festigkeit des Trägers $y$ ist proportional zum Produkt ${xh}^{2}$ , d. h. ${y = kxh}^{2}$ , wobei der Koeffizient $k$ eine gewisse positive Zahl ist.
Also erhalten wir
$y = kx (4 R^{2} - x^{2}), x \in (0; 2 R)$ .

Man soll für die Funktion $y = kx (4 R^{2} - x^{2}), x \in (0; 2 R)$ den Wert $y_{\max}$ bestimmen.

Es ergibt sich:

$\begin{array}{l} y = 4kx R^{2} - k x^{3}; \\ y^{'} = 4k R^{2} - 3 k x^{2} . \end{array}$

Man findet die kritischen Punkte, indem man die Ableitung null setzt:

$\begin{array}{l} 4k R^{2} - 3 k x^{2} = 0 \\ x_{1} = \frac{2 R}{\sqrt{3}}; x_{2} = - \frac{2 R}{\sqrt{3}} . \end{array}$

Im Intervall $(0; 2R)$ liegt der Punkt $x_{1}$ , daher ist $x_{1} = \frac{2 R}{\sqrt{3}}$ das Maximum der Funktion. Es ist also $y_{\max} = f (x_{1}) = f (\frac{2 R}{\sqrt{3}}) = \frac{16 k R^{3}}{3 \sqrt{3}}$ .

In der Aufgabe wird gefragt, welchen Querschnitt der Träger mit der größten Festigkeit hat. Wir haben die Breite $x$ des Rechtecks, das der Achsenschnitt des Trägers ist, bestimmt als $\frac{2 R}{\sqrt{3}}$ . Die Höhe ist dann:

$\begin{array}{l} h^{2} = 4 R^{2} - \frac{4 R^{2}}{3} = \frac{8 R^{2}}{3} \\ h = \frac{2 R \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \Rightarrow \frac{h}{x} = \sqrt{2} . \end{array}$

Antwort: der Achsenschnitt des Trägers muss ein Rechteck sein, bei dem das Verhältnis der Höhe zur Breite $\sqrt{2}$ ist.

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