Theorie:
Mit komplexen Zahlen kann man auch rechnen, die ersten Regeln sind die folgenden:
Rechenregeln I. Im Folgenden sind \(a_1, a_2, b_1\) und \(b_2\) reelle Zahlen.
- Addition:
\((a_1+ib_1)+(a_2+ib_2)=(a_1+a_2) + i(b_1+b_2)\).
- Subtraktion:
\((a_1+ib_1)-(a_2+ib_2)=(a_1-a_2) + i(b_1-b_2)\).
- Multiplikation:
\((a_1+ib_1)\cdot(a_2+ib_2)=a_1a_2+ia_1b_2 + ib_1a_2+i^2b_1b_2=(a_1a_2-b_1b_2) + i(a_1b_2 + a_2b_1)\).
Man kann also bei der Addition, der Subtraktion und der Multiplikation genau so tun, als ob \(i\) einfach eine Variable wäre, mit der einzigen zusätzlichen Eigenschaft, dass \(i\cdot i=-1\).
Beispiel:
Wir können beispielsweise die beiden Zahlen und multiplizieren:
\(\,=\,\)
\(\,=\,\)\(\,=\,\).
\(\,=\,\)\(\,=\,\).
Bevor wir die Rechenregeln für die Division betrachten, benötigen wir die komplex Konjugierte einer komplexen Zahl:
Ist \(z=a+ib\), dann ist die komplex Konjugierte dazu \(a-ib\), und wir bezeichnen sie mit \(\bar z\).
Beispiel:
Ist 4\(+\)6\(i\) eine komplexe Zahl, so ist ihre Konjugierte 4\(-\)6\(i\).Wenn wir die beiden Zahlen miteinander multiplizieren, so entdecken wir:
\((\)4\(+\)6\(i)\cdot(\)4\(-\)6\(i)\,=\,\)52.
Das ist eine reelle Zahl!
Es ist kein Zufall, dass in obigem Beispiel eine reelle Zahl herauskommt. Für eine komplexe Zahl ist \(z\cdot\bar z\) immer eine nichtnegative reelle Zahl! Dies kann man ausnutzen, wenn man komplexe Zahlen dividieren will. Wir zeigen das an Hand eines Beispiels:
Beispiel:
\(\displaystyle \frac 1{3+7i}=\frac 1{3+7i}\cdot \frac{3-7i}{3-7i} = \frac{3-7i}{3^2+7^2} = \frac{3-7i}{58}= \frac 3{58}-\frac7{58}i.\)
Wir haben also mit der komplex Konjugierten des Nenners erweitert, und so die Zahl in eine umgeschrieben, bei der der Nenner reell ist.
Rechenregeln II.
- Division: Sei \(a+ib\) eine komplexe Zahl, ungleich null. Dann gilt
\(\displaystyle \frac 1{a+ib}= \frac 1{a+ib}\cdot \frac{a-ib}{a-ib}=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i.\)
- Potenz: Sei \(n\ge 1\) eine natürliche Zahl, und \(z\) eine komplexe Zahl. Dann ist die Potenz \(z^n\) einfach das \(n\)-fache Produkt von \(z\):
\(z^n= \underbrace{z\cdot z\cdots z}_{n\text{-mal}}\)
Rechenregeln III.
- Kommutativgesetz: Bei der Addition und der Multiplikation spielt die Reihenfolge keine Rolle, d.h. für beliebige \(z_1,z_2\in\mathbb C\) gilt:
\(z_1\,+\, z_2\,=\,z_2\,+ \, z_1\),
\(z_1\,\cdot \, z_2\,=\,z_2\,\cdot \, z_1\).
- Distributivgesetz: Es gilt immer "Punkt vor Strich":
\(z_1\,\cdot\,(z_2\,+\,z_3)\,=\,z_1\,\cdot\,z_2\,+\,z_1\,\cdot\,z_3.\)
Wichtig!
Zusammenfassung: Bis auf die Zusatz-Bedingung, dass \(i\cdot i\,=\,-1\), gelten in \(\mathbb C\) die gleichen Rechenregeln wie in \(\mathbb R\).