Polynomdivision — Theoretisches Material. Mathematik, 11. Schulstufe.

Wir haben bereits gesehen, dass Polynome addiert werden können, und auch multipliziert werden können. Nun kann man Polynome auch dividieren, man geht dabei analog zur Division von ganzen Zahlen vor, nur dass man die Unbekannte $x$ mit berücksichtigen muss. Wir illustrieren das zunächst an Hand eines Beispiels.

Beispiel:

Wir dividieren das Polynom

{P (x) = 3x}^{2} + 5 x - 2

durch das Polynom

Q (x) = x + 1

Wir suchen ein Monom $m(x)$, sodass die führenden Terme (also $3x^2$) in $P(x)$ und $m(x)Q(x)$ übereinstimmen. Es ist also $m(x)=3x$, denn $m(x)Q(x)=3x^2+3x$. Dieses Polynom hat den gewünschten führenden Term.
Wir schreiben nun $m(x)Q(x)=3x^2+3x$ unter $P(x)$ und bilden dann die Differenz:

$\begin{array}{l} (3 x^{2} + 5 x - 2) : (x + 1) = 3 x \\ - \underline{(3 x^{2} + 3 x)} \\ 0 + 2 x - 2 \end{array}$ .
Nun wiederholen wir die obigen Schritte, aber diesmal für $2 x - 2$ anstelle von $P(x)$. Das gesuchte Monom ist hier nun $2$, denn $2 x - 2$ und $2 \cdot (x + 1)$ haben den gleichen führenden Term $2x$. Fügen wir den nächsten Schritt in der Division hinzu, so erhalten wir folgendes:

$\begin{array}{l} (3 x^{2} + 5 x - 2) : (x + 1) = 3 x + 2 \\ - \underline{(3 x^{2} + 3 x)} \\ 0 + 2 x - 2 \\ - \underline{(2 x + 2)} \\ 0 - 4 \end{array}$ .
$-4$ ist der Rest der Division. Die Division endet hier, weil $-4$ einen niedrigeren Grad (nämlich Null) hat als der Divisor $x+1$, der Grad $1$ hat. Das vollständige Resultat der Polynomdivision kann man so schreiben:

$(3 x^{2} + 5 x - 2) : (x + 1) = 3 x + 2 + \frac{- 4}{x + 1}$

Allgemein kann man die Polynomdivision so formulieren:

Division von

P (x) = a_{n} \cdot x^{n} + a_{n - 1} \cdot x^{n - 1} + \cdot \cdot \cdot

durch

Q (x) = b_{m} \cdot x^{m} + b_{m - 1} \cdot x^{m - 1} + \cdot \cdot \cdot

, wobei $n\ge m$ natürliche Zahlen sind, und $a_n, a_{n-1}, \ldots$ und $b_m, b_{m-1},\ldots$ reelle Koeffizienten sind.

Suche das Monom $m(x)$, sodass $m(x)\cdot Q(x)$ den gleichen führenden Term hat wie $P(x)$. Also:

$m (x) = \frac{a_{n}}{b_{m}} \cdot x^{n - m}$ ,

denn $m (x) \cdot Q (x) = a_{n} \cdot x^{n} + \cdot \cdot \cdot$ , was den gleichen führenden Term hat wie $P(x)$.
Wir schreiben nun $m(x)\cdot Q(x)$ unter $P(x)$ und bilden die Differenz der beiden:

$\begin{array}{l} (a_{n} \cdot x^{n} + a_{n - 1} \cdot x^{n - 1} + \cdot \cdot \cdot) : (b_{m} \cdot x^{m} + b_{m - 1} \cdot x^{m - 1} + \cdot \cdot \cdot) = \frac{a_{n}}{b_{m}} \cdot x^{n - m} \\ - \underline{(a_{n} \cdot x^{n} + \frac{a_{n} \cdot b_{m - 1}}{b_{m}} \cdot x^{n - 1} + \cdot \cdot \cdot)} \\ {= P}_{1} (x) \end{array}$ .
Wiederhole Schritte 1-2, mit $P_1(x)$ statt mit $P(x)$, und addiere das so erhaltene Monom zu $m(x)$ dazu.
Das liefert wieder einen Rest, wir nennen ihn $P_2(x)$. Wiederhole wieder Schritte 1-2, diesmal mit $P_2(x)$ statt mit $P(x)$. Addiere das erhaltene Monom zu den beiden bereits erhaltenen dazu.
Wiederhole obige Schritte so lange, bis der Rest ein Polynom von einem Grad kleiner dem Divisor $Q(x)$ ist. Die Summe aller erhaltenen Monome ist das Ergebnis der Division.

In den meisten Fällen, in denen die Polynomdivision zur Anwendung kommt, gibt es keinen Rest, sodass das Ergebnis wieder ein Polynom ist.

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4. Polynomdivision

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