Theorie:
Die Kombinatorik befasst sich damit, auf wie viele unterschiedliche Arten Mengen nach gegebenen Regeln zusammengestellt werden können. Ihr Hauptanwendungsgebiet ist die Wahrscheinlichkeitsrechnung, da sie hier das Berechnen der 'Günstigen' und der 'Möglichen' Ausgänge verschiedener Situationen oft erheblich erleichtert.
Wir gehen dabei typischerweise von einer Grundmenge aus, aus der Elemente gezogen (oder auf andere Art zufällig ermittelt) werden. Dabei treffen wir zwei Unterscheidungen.
- Können sich die einzelnen Ziehungsergebnisse wiederholen, oder kann jedes Ergebnis nur höchstens ein Mal vorkommen?
- Spielt die Reihenfolge der gezogenen Elemente für uns eine Rolle?
Beispiel:
Wir werfen einen Spielwürfel mehrere Male und addieren die Augenzahlen.
Hierbei handelt es sich um eine "Ziehung" mit Wiederholung, da bei jedem Würfelwurf dieselben Ergebnisse (also die Augenzahlen von eins bis sechs) möglich sind - egal, was bereits gewürfelt wurde. Außerdem spielt die Reihenfolge der Würfelergebnisse keine Rolle, da wir nur an der Summe der Augenzahlen interessiert sind (und diese unabhängig von der Reihenfolge ist).
Hierbei handelt es sich um eine "Ziehung" mit Wiederholung, da bei jedem Würfelwurf dieselben Ergebnisse (also die Augenzahlen von eins bis sechs) möglich sind - egal, was bereits gewürfelt wurde. Außerdem spielt die Reihenfolge der Würfelergebnisse keine Rolle, da wir nur an der Summe der Augenzahlen interessiert sind (und diese unabhängig von der Reihenfolge ist).
Spielt die Reihenfolge eine Rolle, so sprechen wir auch von einer geordneten Ziehung oder einer Variation. Wird sie hingegen nicht beachtet, so nennen wir dies eine ungeordnete Ziehung oder eine Kombination.
Wir erhalten so vier verschiedene Möglichkeiten:
- Geordnete Ziehung mit Wiederholung
- Geordnete Ziehung ohne Wiederholung
- Ungeordnete Ziehung mit Wiederholung
- Ungeordnete Ziehung ohne Wiederholung
Die Menge der möglichen Ziehungsergebnisse nennen wir in jedem Fall die Grundmenge, die Anzahl ihrer Elemente bezeichnen wir mit \(n\). Die Zahl der einzelnen Ziehungen bezeichnen wir dagegen mit \(k\).
Beispiel:
Ein neues Päckchen Spielkarten beinhaltet \(55\) Karten (\(52\) Wertekarten und \(3\) Joker). Für einen Zaubertrick werden daraus drei zufällige Karten gezogen.
Hier besteht die Grundmenge aus den \(55\) Karten des Kartenspiels, wir haben also \(n = 55\). Da drei Karten gezogen werden, gilt weiters \(k = 3\).
Hier besteht die Grundmenge aus den \(55\) Karten des Kartenspiels, wir haben also \(n = 55\). Da drei Karten gezogen werden, gilt weiters \(k = 3\).