Funktion y=tan x und ihre Eigenschaften — Theoretisches Material. Mathematik, 10. Schulstufe.

Die Funktion

y = \tan x

ist für

x \neq \frac{π}{2} + π n, n \in ℤ

wohldefiniert, ist eine ungerade und periodische Funktion mit Periode

π

Aufgrund dieser Eigenschaften genügt es, den Graphen im Intervall

[0; \frac{π}{2})

zu erstellen.

Wir wählen für die Erstellung des Graphen jene Punkte, deren Koordinaten wir bereits kennen:

\begin{array}{l} tan0 = 0 \\ \tan \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \tan \frac{π}{4} = 1 \\ \tan \frac{π}{3} = \sqrt{3} \end{array}

Indem man sie punktsymmetrisch zum Ursprung darstellt, erhält man den Graphen im Intervall

(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})

Mithilfe der Periodizität erstellt man dann den Graphen der Funktion \(y=tan x\) im ganzen Definitionsbereich.

Eigenschaften der Funktion

y = \tan x

1. Der Definitionsbereich der Funktion ist die Menge aller reellen Zahlen

x \neq \frac{π}{2} + π n, n \in ℤ

2. Der Wertebereich ist die Menge

ℝ

aller reellen Zahlen.

3. Die Funktion

y = \tan x

ist periodisch mit Periode

π

4. Die Funktion

y = \tan x

ist eine ungerade Funktion.

5. Die Funktion

y = \tan x

nimmt:

- den Wert \(0\) an, wenn

x = π n, n \in ℤ;

- positive Werte in den Intervallen

(π n; \frac{π}{2} + π n), n \in ℤ;

an.

- negative Werte in den Intervallen

(- \frac{π}{2} + π n; π n), n \in ℤ .

an.

6. Die Funktion

y = \tan x

steigt in den Intervallen

(- \frac{π}{2} + π n; \frac{π}{2} + π n), n \in ℤ .

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4. Funktion y=tan x und ihre Eigenschaften