Gerade und ungerade Funktionen — Theoretisches Material. Mathematik, 10. Schulstufe.

Die Funktion \(y=f(x)\),

x \in X

wird gerade genannt, wenn für ein beliebiges \(x\)

der Menge \(X\) die Gleichung

f (- x) = f (x)

erfüllt ist.

Die Funktion \(y=f(x)\),

x \in X

wird ungerade genannt, wenn für ein beliebiges \(x\) der Menge \(X\) die Gleichung

f (- x) = - f (x)

erfüllt ist.

Ist die Funktion \(y=f(x)\) eine gerade oder eine ungerade Funktion, dann ist ihrer Definitionsbereich \(D_f\) symmetrisch auf der Menge.

Untersuchung ob die Funktion \(y=f(x)\) gerade/ungerade ist

1. Man stellt fest, ob die Menge \(D_f\) symmetrisch ist. Wenn nicht, so ist die Funktion weder gerade noch ungerade.

2. Man bestimmt den Ausdruck \(f(-x)\).

3. Dann werden \(f(-x)\) und \(f(x)\) verglichen:

а) wenn

f (- x) = f (x)

für jedes beliebige

x \in D_{f}

, ist die Funktion gerade;

b) wenn

f (- x) = - f (x)

für jedes beliebige

x \in D_{f}

, dann ist die Funktion ungerade;

c) wenn

f (- x) \neq f (x)

für mindestens einen Punkt

x \in D_{f}

erfüllt ist, bzw. wenn

f (- x) \neq - f (x)

für mindestens einen Punkt

x \in D_{f}

erfüllt ist, ist die Funktion \(y=f(x)\) weder gerade noch ungerade.

Ist der Graph der Funktion \(y=f(x)\) symmetrisch zur \(y\)-Achse, so ist die Funktion gerade.

Ist der Graph der Funktion \(y=f(x)\) symmetrisch zum Koordinatenursprung, ist \(y=f(x)\) eine ungerade Funktion.

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1. Gerade und ungerade Funktionen