Theorie:
Die \(n\)-te Wurzel (oder Radix) einer Zahl \(a\) ist eine Zahl \(b\), deren
\(n\)-te Potenz gleich \(a\) ist, das heißt
\(n\)-te Potenz gleich \(a\) ist, das heißt
Das Berechnen der Wurzel \(n\)-ten Grades aus der Zahl \(a\) nennt man das Ziehen der Wurzel \(n\)-ten Grades bzw. Radizieren von \(a\) .
Diese Zahl bezeichnet man als .
Die Zahl \(а\) nennt man Radikand, die Zahl \(n\) den Wurzelexponenten.
Für \(n = 2\) schreibt man (dh., \(2\) wird nicht notiert) und man sagt "Quadratwurzel aus \(a\)".
Wenn \(n = 3\), dann schreibt man und anstatt "die Wurzel dritten Grades" sagt man oft "Kubikwurzel aus \(a\)".
Für die Berechnung der Wurzel müssen wir unterscheiden ob \(n\) gerade (also n=2, 4, 6,...) oder ungerade (n=3, 5, 7,....) ist.
Ist \(n\) eine gerade Zahl, dann existiert die Wurzel \(n\)-ten Grades aus einer beliebigen nicht negativen Zahl (also aus einer beliebigen positiven Zahl oder Null) .
Wenn \(a < 0\), dann ist die Wurzel \(n\)-ten Grades aus \(a\) nicht bestimmt. Eine (reelle) Wurzel geraden Grades aus der negativen Zahl existiert nicht.
Zum Beispiel ist die Wurzel vierten Grades aus der Zahl \(16\) gleich \(2\) , d.h.
Beispiel:
\(=2\) , da ,
ergibt keinen Sinn, da es keine reelle Zahl gibt, deren vierte Potenz einen negativen Wert aufweist.
Wenn \(n\) eine ungerade Zahl ist, dann existiert eine einzige Wurzel \(n\)-ten Grades aus der beliebigen Zahl (positiven, negativen oder null), es gilt außerdem
.
Wir können also schreiben
Also können wir das Radizieren als Umkehrung des Potenzierens verstehen.
Beispiel:
Es gelten die folgenden Rechenregeln für und natürliche Zahlen :
- Produkte:
- Quotienten:
- Verschachtelungen (Iterationen):
Das Ziehen der \(n\)-ten Wurzel wirkt wie das Potenzieren mit dem Exponenten . Daher gilt für natürliche Zahlen :
.