Theorie:
Eine andere Art von Folge erhält man beispielsweise, indem man bei eins beginnt und mit jedem Schritt den Zahlenwert verdoppelt:
\[ \langle b_n \rangle = \langle 1,2,4,8,16,32,\ldots \rangle \]
Dies ist keine arithmetische Folge, da aufeinanderfolgende Zahlen nicht um eine gleichbleibende Schrittweite auseinanderliegen. Stattdessen unterscheiden sie sich immer um den selben Faktor: man erhält den Nachfolger jedes Glieds durch Multiplikation mit der Zahl 2.
Eine solche Folge heißt geometrische Folge. Geometrische Folgen beginnen mit dem ersten Glied \(b_1\) (auch dieses heißt Startwert) und werden fortgesetzt, indem man immer die selbe Zahl \(q\) (den Quotienten) an das letzte Glied multipliziert. Im oberen Beispiel ist \(b_1=1\) und \(q=2\).
Die implizite Darstellung einer geometrischen Folge benötigt daher den Startwert \(b_1\) und den Quotienten \(q\). Die weiteren Folgeglieder werden dann durch
\[ b_{n+1} = b_n \cdot q \]
festgelegt. Wenn wir diese Gleichung nach \(q\) auflösen, erhalten wir
\[ q=\frac{b_{n+1}}{b_n} \,.\]
Das Verhältnis (also der Quotient) zweier aufeinanderfolgender Glieder einer geometrischen Folge ist also konstant; daher der Name Quotient für den Faktor \(q\).
Der Quotient \(q\) kann dabei auch kleiner als 1 sein; sehen wir uns z.B. die geometrische Folge mit \(b_1=8\) und \(q=\frac12\) an. Die ersten Glieder dieser Folge sehen so aus:
\[ \langle 8,4,2,1,\frac12,\frac14,\frac18, \ldots \rangle \,. \]
Hier wird also bei jedem Schritt mit \(q=\frac12\) multipliziert bzw. durch die Zahl 2 dividiert.
Auch negative Werte für den Quotienten \(q\) sind möglich; dann wechseln die Folgenglieder mit jedem Schritt das Vorzeichen. Ersetzen wir beispielsweise bei der obigen Folge den Quotienten mit \(q=-\frac12\) und behalten den Startwert \(b_1=8\) bei, erhalten wir diese Folge:
\[ \langle 8,-4,2,-1,\frac12,-\frac14,\frac18, \ldots \rangle \,. \]
Eine explizite Darstellung für geometrische Folgen erhalten wir, indem wir uns überlegen, dass \(b_1\) der Startwert ist. \(b_2\) bekommen wir, indem wir \(q\) einmal mit \(b_1\) multiplizieren. Multiplizieren wir den Startwert zweimal mit \(q\) (also mit \(q^2\)) , erhalten wir \(b_3\) usw. Wir haben also
| \(b_1 = b_1\) | \( = b_1 q^0\) |
| \(b_2 = b_1 q\) | \( = b_1 q^1\) |
| \(b_3 = b_2 q\) | \( = b_1 q^2\) |
| \(b_4 = b_3 q\) | \( = b_1 q^3\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) |
Das ergibt die allgemeine explizite Darstellung für geometrische Folgen:
\[ b_n = b_1 q^{n-1} \]
Möchten wir etwa für das erste Beispiel (Startwert \(a_1=1\) und Quotient \(q=2\)) das 20. Folgenglied berechnen, können wir das am einfachsten mit der expliziten Darstellung und dem Einsetzen von \(n=20\) tun:
\[ b_{20} = b_1 q^{19} = 1\cdot2^{19} = 524\,288 \,. \]
Wie wir sehen, wachsen die Glieder geometrischer Folgen bei einem Quotienten \(q>1\) immer rascher an (exponentielles Wachstum), weshalb die Glieder mit sehr hohem \(n\) oft nicht mehr mit dem Taschenrechner berechnet werden können.