Theorie:
Eine andere Art von Folge erhält man beispielsweise, indem man bei eins beginnt und mit jedem Schritt den Zahlenwert verdoppelt:
\langle b_n \rangle = \langle 1,2,4,8,16,32,\ldots \rangle
Dies ist keine arithmetische Folge, da aufeinanderfolgende Zahlen nicht um eine gleichbleibende Schrittweite auseinanderliegen. Stattdessen unterscheiden sie sich immer um den selben Faktor: man erhält den Nachfolger jedes Glieds durch Multiplikation mit der Zahl 2.
Eine solche Folge heißt geometrische Folge. Geometrische Folgen beginnen mit dem ersten Glied b_1 (auch dieses heißt Startwert) und werden fortgesetzt, indem man immer die selbe Zahl q (den Quotienten) an das letzte Glied multipliziert. Im oberen Beispiel ist b_1=1 und q=2.
Die implizite Darstellung einer geometrischen Folge benötigt daher den Startwert b_1 und den Quotienten q. Die weiteren Folgeglieder werden dann durch
b_{n+1} = b_n \cdot q
festgelegt. Wenn wir diese Gleichung nach q auflösen, erhalten wir
q=\frac{b_{n+1}}{b_n} \,.
Das Verhältnis (also der Quotient) zweier aufeinanderfolgender Glieder einer geometrischen Folge ist also konstant; daher der Name Quotient für den Faktor q.
Der Quotient q kann dabei auch kleiner als 1 sein; sehen wir uns z.B. die geometrische Folge mit b_1=8 und q=\frac12 an. Die ersten Glieder dieser Folge sehen so aus:
\langle 8,4,2,1,\frac12,\frac14,\frac18, \ldots \rangle \,.
Hier wird also bei jedem Schritt mit q=\frac12 multipliziert bzw. durch die Zahl 2 dividiert.
Auch negative Werte für den Quotienten q sind möglich; dann wechseln die Folgenglieder mit jedem Schritt das Vorzeichen. Ersetzen wir beispielsweise bei der obigen Folge den Quotienten mit q=-\frac12 und behalten den Startwert b_1=8 bei, erhalten wir diese Folge:
\langle 8,-4,2,-1,\frac12,-\frac14,\frac18, \ldots \rangle \,.
Eine explizite Darstellung für geometrische Folgen erhalten wir, indem wir uns überlegen, dass b_1 der Startwert ist. b_2 bekommen wir, indem wir q einmal mit b_1 multiplizieren. Multiplizieren wir den Startwert zweimal mit q (also mit q^2) , erhalten wir b_3 usw. Wir haben also
| b_1 = b_1 | = b_1 q^0 |
| b_2 = b_1 q | = b_1 q^1 |
| b_3 = b_2 q | = b_1 q^2 |
| b_4 = b_3 q | = b_1 q^3 |
| \vdots | \vdots |
Das ergibt die allgemeine explizite Darstellung für geometrische Folgen:
b_n = b_1 q^{n-1}
Möchten wir etwa für das erste Beispiel (Startwert a_1=1 und Quotient q=2) das 20. Folgenglied berechnen, können wir das am einfachsten mit der expliziten Darstellung und dem Einsetzen von n=20 tun:
b_{20} = b_1 q^{19} = 1\cdot2^{19} = 524\,288 \,.
Wie wir sehen, wachsen die Glieder geometrischer Folgen bei einem Quotienten q>1 immer rascher an (exponentielles Wachstum), weshalb die Glieder mit sehr hohem n oft nicht mehr mit dem Taschenrechner berechnet werden können.