Theorie:
Erinnern wir uns an die explizite Darstellung für arithmetische Folgen:
\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]
Wie wir gesehen haben, kann bei Folgen \(n\) immer nur eine natürliche Zahl sein. Wir können uns aber fragen, was für eine Funktion wir bekommen würden, wenn wir statt natürlichen Zahlen alle reellen Werte für \(n\) zulassen. Dazu formen wir den obenstehenden Ausdruck um:
\[ a_n = a_1 + (n-1)d = a_1 + nd - d = dn + (a_1-d) \]
Wenn wir nun auch reelle Zahlen zulassen wollen, bringen wir das dadurch zum Ausdruck, dass wir \(n\) durch den Buchstaben \(x\) ersetzen - denn \(n\) bedeutet in der Mathematik in der Regel eine natürliche oder zumindest eine ganze Zahl.
Lassen wir reelle Zahlen zu, haben wir auch keine Folge mehr, sondern eine reelle Funktion. Statt \(a_n\) schreiben wir daher besser \(f(x)\). Unsere Folge wird daher zu der Funktion
\[ f(x) = dx + (a_1 - d) \,. \]
Das sieht aus wie eine lineare Funktion. Eine lineare Funktion hat ja die allgemeine Form
\[ f(x) = ax + b \,. \]
Unsere arithmetische Folge verwandelt sich also in eine lineare Funktion, wenn wir reelle Zahlen zulassen. Dabei ist
\[ a = d \quad \text{ und } \quad b = a_1 - d \,. \]
Wir sehen, dass \(d\) der Steigungsparameter der linearen Funktion ist. Das sollte uns nicht überraschen; denn die Folge wächst mit jedem Schritt um \(d\) an (bzw. fällt, wenn \(d<0\)). Und die Steigung einer linearen Funktion gibt uns ja ebenfalls an, um wieviel die Funktion ansteigt, wenn man einen Schritt von \(1\) nach rechts geht.
Die Konstante \(b\) gibt uns an, welchen Wert die Funktion bei \(x=0\) hat. Bei diesem Wert schneidet der Graf der Funktion also die y-Achse. Statt unserem Startwert \(a_1\) erhalten wir hier den Wert \(b=a_1 - d\). Auch das wird einleuchtend, wenn man sich klar macht, dass \(a_1\) ja der Wert ist, den die Folge bei \(n=1\) hat. Um einen sinnvollen Wert für \(n=0\) zu erhalten, müssen wir \(d\) von \(a_1\) abziehen. Denn gäbe es das Folgeglied \(a_0\) als Vorgänger von \(a_1\), dann müsste dieses ja so groß sein, dass \(a_1 = a_0 +d\) ist. Das gilt nur für \(a_0 = a_1-d\).
Der Funktionswert der passenden linearen Funktion bei \(x=0\) muss also sein:
\[ f(0)= b = a_1-d \,. \]
Wir sehen also: Zu jeder arithmetischen Folge gibt es eine passende lineare Funktion, wenn man alle reellen Zahlen zulassen will:
\[ a_n = a_1 + (n-1)d \quad \longleftrightarrow \quad f(x) = dx + (a_1 - d) \] |