Logarithmische Funktion, ihre Eigenschaften und ihr Graph — Theoretisches Material. Mathematik, 10. Schulstufe.

Die Funktion

y = \log_{a} x

nennt man logarithmische Funktion zur Basis $a$.

(a > 0, a \neq 1)

Basiseigenschaften der logarithmischen Funktion:

1. Der Definitionsbereich einer logarithmischen Funktion besteht aus allen positiven reellen Zahlen.

D (f) = (0; + \infty)

;

2. Der Wertebereich besteht aus allen reellen Zahlen.

W (f) = (- \infty; + \infty)

;

3. Die logarithmische Funktion wächst am ganzen Definitionsbereich für $a>1$ bzw. fällt für $0<a<1$.

Wichtig!

Die logarithmische Funktion ist weder gerade noch ungerade, hat keine Minima oder Maxima, ist nach oben und unten unbeschränkt.
Der Graph jeder beliebigen logarithmischen Funktion

y = \log_{a} x

geht durch den Punkt $(1; 0)$.

Zeichnen wir die Graphen folgender Funktionen:

Beispiel:

y = \log_{2} x

, die Basis $2>1$

$x$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$	$8$
$y = \log_{2} x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$

Beispiel:

y = \log_{\frac{1}{3}} x

die Basis $0<$

\frac{1}{3}

$<1$

$x$	$9$	$3$	$1$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{9}$
$y = \log_{\frac{1}{3}} x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$

Die logarithmische Funktion

y = \log_{a} x

und exponentielle Funktion

y = a^{x}

(a > 0, a \neq 1)

, sind invers zueinander.

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\(x\)	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	\(1\)	\(2\)	\(4\)	\(8\)
$y = \log_{2} x$	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)

\(x\)	\(9\)	\(3\)	\(1\)	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{9}$
$y = \log_{\frac{1}{3}} x$	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)

1. Logarithmische Funktion, ihre Eigenschaften und ihr Graph

Theorie: