Theorie:
Der Logarithmus einer Zahl kommt dann zum Einsatz, wenn wir eine Gleichung lösen wollen, bei der die Unbekannte im Exponenten steht. Nehmen wir z.B. die folgende Gleichung:
\[ 2^x = 8 \]
Dann suchen wir also die Zahl, zu der wir 2 potenzieren müssen, um 8 zu erhalten ("2 hoch wie viel ist gleich 8?").
Die Lösung dieser Gleichung heißt Logarithmus von 8 zur Basis 2 und wird in mathematischen Symbolen so geschrieben:
\[ x = \log_2 8 \,. \]
In diesem Fall ist die Lösung nicht schwer zu finden; denn wir wissen (hoffentlich), dass \(2^3 = 8\) ist. Daher ist die Lösung der oben stehenden Gleichung
\[ x = \log_2 8 = 3 \,. \]
In den meisten Fällen (wenn die Zahl, deren Logarithmus wir suchen, keine "glatte" Potenz der Basis ist), erhalten wir jedoch eine irrationale Zahl als Logarithmus.
Allgemein ist der Logarithmus einer Zahl \(z\) zu einer bestimmten Basis \(b\) die Zahl \(x\), die die Gleichung \( b^x = z \) erfüllt (davon gibt es höchstens eine). Der Logarithmus ist also gleich dem eindeutig bestimmten Exponenten \(x\), mit der wir die Basis potenzieren müssen, um \(z\) zu erhalten. In Symbolschreibweise bedeuten damit die beiden folgenden Gleichungen dasselbe:
| \[ b^x = z \quad \Longleftrightarrow \quad x = \log_b z \,. \] |
Der Logarithmus ist also gewissermaßen die Umkehrfunktion zum Potenzieren mit einer Zahl.
Benannt werden die Zahlen in den Gleichungen folgendermaßen:
- Wie schon erwähnt, heißt \(b\) die Basis des Logarithmus. Das liegt daran, dass \(b\) in der Potenzgleichung auf der linken Seite die Basis der Potenz ist.
- Die Zahl \(z\) entspricht in der Gleichung links dem Ergebnis der Potenzierung. Auf der rechten Seite heißt sie dagegen Numerus oder Argument des Logarithmus.
- \(x\) ist in der linken Gleichung der Exponent der Potenz. Rechts entspricht es einfach dem Ergebnis des Logarithmus und heißt daher kurz der Logarithmus.