Theorie:
Der Logarithmus einer Zahl kommt dann zum Einsatz, wenn wir eine Gleichung lösen wollen, bei der die Unbekannte im Exponenten steht. Nehmen wir z.B. die folgende Gleichung:
2^x = 8
Dann suchen wir also die Zahl, zu der wir 2 potenzieren müssen, um 8 zu erhalten ("2 hoch wie viel ist gleich 8?").
Die Lösung dieser Gleichung heißt Logarithmus von 8 zur Basis 2 und wird in mathematischen Symbolen so geschrieben:
x = \log_2 8 \,.
In diesem Fall ist die Lösung nicht schwer zu finden; denn wir wissen (hoffentlich), dass 2^3 = 8 ist. Daher ist die Lösung der oben stehenden Gleichung
x = \log_2 8 = 3 \,.
In den meisten Fällen (wenn die Zahl, deren Logarithmus wir suchen, keine "glatte" Potenz der Basis ist), erhalten wir jedoch eine irrationale Zahl als Logarithmus.
Allgemein ist der Logarithmus einer Zahl z zu einer bestimmten Basis b die Zahl x, die die Gleichung b^x = z erfüllt (davon gibt es höchstens eine). Der Logarithmus ist also gleich dem eindeutig bestimmten Exponenten x, mit der wir die Basis potenzieren müssen, um z zu erhalten. In Symbolschreibweise bedeuten damit die beiden folgenden Gleichungen dasselbe:
| b^x = z \quad \Longleftrightarrow \quad x = \log_b z \,. |
Der Logarithmus ist also gewissermaßen die Umkehrfunktion zum Potenzieren mit einer Zahl.
Benannt werden die Zahlen in den Gleichungen folgendermaßen:
- Wie schon erwähnt, heißt b die Basis des Logarithmus. Das liegt daran, dass b in der Potenzgleichung auf der linken Seite die Basis der Potenz ist.
- Die Zahl z entspricht in der Gleichung links dem Ergebnis der Potenzierung. Auf der rechten Seite heißt sie dagegen Numerus oder Argument des Logarithmus.
- x ist in der linken Gleichung der Exponent der Potenz. Rechts entspricht es einfach dem Ergebnis des Logarithmus und heißt daher kurz der Logarithmus.