Theorie:
Gleichungen, bei denen eine Variable in der Logarithmusfunktion (oder in der Logarithmusbasis) steht, nennt man logarithmische Gleichungen.
Die einfachste logarithmische Gleichung ist eine Gleichung der Form
, wobei die Basis ,
und der Ausdruck in der Logarithmusfunktion, \(x\), positiv sein muss.
Für jede reelle Zahl \(b\) hat diese Gleichung eine einzige Lösung .
Beispiel:
Lösung der Gleichung
:
Zuerst finden wir den Bereich der erlaubten Werte (Definitionsbereich): Es muss \(x>0\) sein, da in der Logarithmusfunktion ein positiver Ausdruck stehen soll.
Für die Lösung der gegebenen Gleichung genügt es, die Definition des Logarithmus zu benutzen, also
Der gefundene Wert liegt im erlaubten Wertebereich, also ist er eine Lösung der Gleichung.
Beispiel:
Lösung der Gleichung
:
Erlaubte Werte:
Nach der Definition des Logarithmus erhalten wir
Also sind Lösungen.
Beispiel:
Lösung der Gleichung:
Definitionsbereich:
Durch Lösung der Gleichung (z.B. mit der großen oder kleinen Lösungsformel oder dem Satz von Vieta) folgt
\(x=-6\) ist keine Lösung dieser Gleichung, da der Wert nicht zum Definitionsbereich gehört.
Die einzige Lösung ist also \(x=1\).